Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas propostos - Ex. 19
Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são e o ponto médio das diagonais é . Calcular a área do paralelogramo.
Passo 1
Antes de colocarmos a mão na massa, precisamos relembrar como se calcula a área do paralelogramo, certo?
Para encontrarmos a área, devemos escolher dois vetores NÃO paralelos e fazer o módulo do produto vetorial entre eles.
Ainda está meio confuso? Vamos fazer um esboço do paralelogramo do nosso problema para nos ajudar, onde representa o ponto médio e as linhas tracejadas as nossas diagonais.
Logo, como devemos escolher dois vetores NÃO paralelos, a área poderá ser dada por |...
Passo 2
Conhecemos os pontos e , logo precisamos do ponto ou . Aqui na nossa resolução, vamos optar por achar o ponto beleza?
Temos um ponto que é o ponto médio das diagonais, acreditem, ele não está ali atoa. Mas para usarmos esse tal ponto , precisamos saber o quem vem a ser um ponto médio.
Direto ao ponto: podemos definir o ponto médio, como o ponto que divide o segmento de reta exatamente no meio, ou seja:
Conhecemos e , portanto, substituindo na expressão acima, podemos achar :
Passo 3
Dado que e , vamos encontrar os vetores e :
Passo 4
Por fim, para calcularmos a área do paralelogramo, vamos utilizar o módulo do produto vetorial de e :
Portanto, a área do paralelogramo é 😉
Resposta
A área do paralelogramo é .