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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas propostos - Ex. 22

Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores u → e v → , sabendo que suas diagonais são u → + v → = ( - 1 ,   3 ,   4 ) e u → - v → = ( 1 ,   - 2 ,   2 ) .

Passo 1

Dado que u → + v → = ( - 1 ,   3 ,   4 ) e u → - v → = ( 1 ,   - 2 ,   2 ) , vamos encontrar os vetores u → e v → .

A ideia é tratar as diagonais como um sisteminha, dessa forma:

u → + v → = - 1 ,   3 ,   4                       ( I ) u → - v → = 1 ,   - 1 ,   2                     ( I I )

De ( I ) , obtemos:

u → + v → = - 1 ,   3 ,   4 ⇒ u → = - 1 ,   3 ,   4 - v →

Substituindo o valor de u → encontramos na segunda em ( I I ) , temos:

u → - v → = 1 , - 1 ,   2

- 1 ,   3 ,   4 - v → - v → = 1 , - 1 ,   2

- 1 ,   3 ,   4 - 2 v → = 1 , - 1 ,   2

- 2 v → = 1 , - 1 ,   2 - - 1 ,   3 ,   4

- 2 v → = 2 , - 4 , - 2

- v → = 1 , - 2 , - 1

v → = - 1 ,   2 ,   1

Se u → = - 1 ,   3 ,   4 - v → , então:

u → = - 1 ,   3 ,   4 - - 1 ,   2 ,   1

u → = ( 0 ,   1 ,   3 )

Passo 2

A área é dada por u → × v → sendo u → = ( 0 ,   1 ,   3 ) e v → = ( - 1 ,   2 ,   1 ) . Vamos então, calcular a área do paralelogramo:

u → × v → = i → j → k → 0 1 3 - 1 2 1 = i → - 3 j → + 0 k → - 6 i → + 0 j → - k → = - 5 i → - 3 j → + k →

u → × v → = - 5 2 + - 3 2 + 1 2 = 35

Portanto, a área do paralelogramo é 35 . 😉

Resposta

35

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