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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 31

Na Estatística, as quantidades

x - = 1 n x 1 + x 2 + … + x n

e

s x 2 = 1 n - 1 x 1 - x - 2 + x 2 - x - 2 + … + x n - x - 2

são denominadas, respectivamente, a média amostral e a variância amostral de x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) .

(a) Expresse a forma quadrática s x 2 na notação matricial x T A x , com A simétrica.

(b) s x 2 será uma forma quadrática positiva? Explique.

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil! Vem comigo que vai dar tudo certo! Como dito no enunciado, a variância amostral é:

s x 2 = 1 n - 1 x 1 - x - 2 + x 2 - x - 2 + … + x n - x - 2

Precisamos expressar isso na forma quadrática x T A x . Isso quer dizer que precisamos simplificar essa equação até encontrarmos os coeficientes dos termos da diagonal principal, ou seja, os valores que multiplicam x i 2 e os coeficientes dos termos mistos, ou seja, os valores que multiplicam x i x j .

Passo 2

Para começar, vamos olhar a equação. Podemos observar uma soma de vários termos que chamamos de quadrado da diferença! Pra simplificar a nossa vida, vamos olhar apenas para um deles de uma forma mais geral!

x i - x - 2

Para cada i = 1 ,   2 ,   … ,   n temos que:

x i - x - 2 = x i 2 - 2 x i x - + x - 2

Do enunciado, sabemos que x - = 1 n x 1 + x 2 + … + x n =   1 n ∑ j = 1 n x j . Portanto,

x i - x - 2 = x i 2 - 2 x i 1 n ∑ j = 1 n x j + 1 n 2 ∑ j = 1 n x j 2

Quando desenvolvemos o termo ∑ j = 1 n x j 2 , temos que lembrar que como se trata de um somatório, não podemos simplesmente elevar o termo de dentro ao quadrado. A forma correta é,

∑ j = 1 n x j 2 = ∑ j = 1 n x j 2 + 2 ∑ j = 1 n ∑ k = j + 1 n x j x k

Portanto, temos que:

x i - x - 2 = x i 2 - 2 x i 1 n ∑ j = 1 n x j + 1 n 2 ∑ j = 1 n x j 2 + 2 ∑ j = 1 n ∑ k = j + 1 n x j x k

x i - x - 2 = x i 2 - 2 n ∑ j = 1 n x i x j + 1 n 2 ∑ j = 1 n x j 2 + 2 ∑ j = 1 n ∑ k = j + 1 n x j x k

Ufa! Finalmente desenvolvemos tudinho!

Passo 3

Agora, podemos reescrever a variância amostral como:

s x 2 = 1 n - 1 ∑ i = 1 n x i - x - 2 = 1 n - 1 ∑ i = 1 n x i 2 - 2 n ∑ j = 1 n x i x j + 1 n 2 ∑ j = 1 n x j 2 + 2 ∑ j = 1 n ∑ k = j + 1 n x j x k

Meu Deus! Que bizarro! Para com esse medo bobo, agora tá na cara a nossa resposta! Os coeficientes de x i 2 são dados quando i = j , ou seja,

s x 2 = 1 n - 1 ∑ i = 1 n 1 x i 2 - 2 n ∑ i = 1 n x i 2 + 1 n 2 ∑ i = 1 n x i 2 + 2 ∑ i = 1 n ∑ k = i + 1 n x i x k

Portanto, os coeficientes são:

1 n - 1 1 - 2 n + 1 n 2 . n = 1 n

Para calcularmos os coeficientes do termo misto x i x j fazemos i ≠ j e multiplicamos por 2 os somatórios dos termos mistos! Ou seja,

s x 2 = 1 n - 1 ∑ i = 1 n x i 2 - 2 n ∑ j = 1 n x i x j + 1 n 2 ∑ j = 1 n x j 2 + 2 ∑ j = 1 n ∑ k = j + 1 n x j x k

Portanto, os coeficientes são:

1 n - 1 - 4 n + 2 n 2 . n = - 2 n ( n - 1 )

Passo 4

Sendo assim, a forma quadrática s x 2 na notação matricial x T A x , com A simétrica é dada por:

s x 2 = x T A x onde A = 1 n - 1 n ( n - 1 ) … - 1 n ( n - 1 ) - 1 n ( n - 1 ) 1 n … - 1 n ( n - 1 ) ⋮ - 1 n ( n - 1 ) ⋮ - 1 n ( n - 1 ) ⋱ … ⋮ 1 n

É isso galera! Chegamos na nossa primeira resposta! Bora pra b que vai acabar!

Passo 5

Nós sabemos que s x 2 = 1 n - 1 x 1 - x - 2 + x 2 - x - 2 + … + x n - x - 2 ≥ 0 portanto s x 2 será uma forma quadrática não negativa!

Resposta

Parabéns, pessoal! Chegamos ao fim dessa questão! Vocês venceram mais uma vez! Temos que a forma quadrática s x 2 na notação matricial x T A x , com A simétrica é dada por:

s x 2 = x T A x onde A = 1 n - 1 n ( n - 1 ) … - 1 n ( n - 1 ) - 1 n ( n - 1 ) 1 n … - 1 n ( n - 1 ) ⋮ - 1 n ( n - 1 ) ⋮ - 1 n ( n - 1 ) ⋱ … ⋮ 1 n

E também que s x 2 será uma forma quadrática não negativa!

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