Na Estatística, as quantidades x - = 1 n x 1 + x 2 + … + x n e s x 2 = 1 n - 1 x 1 - x - 2 + x 2 - x - 2 + … + x n - x - 2 são denominadas, respectivamente, a média amostral e a variância amostral de x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) .(a) Expresse a forma quadrática s x 2 na notação matricial x T A x , com A simétrica.(b) s x 2 será uma forma quadrática positiva? Explique.

Parabéns, pessoal! Chegamos ao fim dessa questão! Vocês venceram mais uma vez! Temos que a forma quadrática s x 2 na notação matricial x T A x , com A simétrica é dada por: s x 2 = x T A x onde A = 1 n - 1 n ( n - 1 ) … - 1 n ( n - 1 ) - 1 n ( n - 1 ) 1 n … - 1 n ( n - 1 ) ⋮ - 1 n ( n - 1 ) ⋮ - 1 n ( n - 1 ) ⋱ … ⋮ 1 n E também que s x 2 será uma forma quadrática não negativa!

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 31

Na Estatística, as quantidades

e

são denominadas, respectivamente, a média amostral e a variância amostral de .

(a) Expresse a forma quadrática na notação matricial , com simétrica.

(b) será uma forma quadrática positiva? Explique.

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil! Vem comigo que vai dar tudo certo! Como dito no enunciado, a variância amostral é:

Precisamos expressar isso na forma quadrática . Isso quer dizer que precisamos simplificar essa equação até encontrarmos os coeficientes dos termos da diagonal principal, ou seja, os valores que multiplicam e os coeficientes dos termos mistos, ou seja, os valores que multiplicam .

Passo 2

Para começar, vamos olhar a equação. Podemos observar uma soma de vários termos que chamamos de quadrado da diferença! Pra simplificar a nossa vida, vamos olhar apenas para um deles de uma forma mais geral!

Para cada temos que:

Do enunciado, sabemos que . Portanto,

Quando desenvolvemos o termo , temos que lembrar que como se trata de um somatório, não podemos simplesmente elevar o termo de dentro ao quadrado. A forma correta é,

Portanto, temos que:

Ufa! Finalmente desenvolvemos tudinho!

Passo 3

Agora, podemos reescrever a variância amostral como:

Meu Deus! Que bizarro! Para com esse medo bobo, agora tá na cara a nossa resposta! Os coeficientes de são dados quando , ou seja,

Portanto, os coeficientes são:

Para calcularmos os coeficientes do termo misto fazemos e multiplicamos por 2 os somatórios dos termos mistos! Ou seja,

Portanto, os coeficientes são:

Passo 4

Sendo assim, a forma quadrática na notação matricial , com simétrica é dada por:

onde

É isso galera! Chegamos na nossa primeira resposta! Bora pra b que vai acabar!

Passo 5

Nós sabemos que portanto será uma forma quadrática não negativa!

Resposta

Parabéns, pessoal! Chegamos ao fim dessa questão! Vocês venceram mais uma vez! Temos que a forma quadrática na notação matricial , com simétrica é dada por:

onde

E também que será uma forma quadrática não negativa!

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