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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 12b

Em cada caso, use o método das potências com mudança de escala euclidiana para aproximar o autovalor dominante e um autovetor associado da matriz dada. Escolha seu vetor inicial e pare quando o erro percentual estimado na aproximação do autovalor for menor do que 0,1%.

A = 1 0 1 1 0 2 - 1 1 1 - 1 4 1 1 1 1 8

Passo 1

Vamos determinar o vetor inicial aleatoriamente:

1 1 1 1

Logo

A x 0 = 1 0 1 1 0 2 - 1 1 1 - 1 4 1 1 1 1 8 1 1 1 1 = 3 2 5 11                                                 x 1 = A x 0 | A x 0 | = 1 12,6095 . 3 2 5 11 ≈ 0,2379 0,1586 0,3965 0,8724

A x 1 = 1 0 1 1 0 2 - 1 1 1 - 1 4 1 1 1 1 8 0,2379 0,1586 0,3965 0,8724 = 1,5068 0,7931 2,5378 7,7719                                       x 2 = 1 8,3512 . 1,5068 0,7931 2,5378 7,7719 ≈ 0,1667 0,0962 0,2629 0,9306

A x 2 = 1 0 1 1 0 2 - 1 1 1 - 1 4 1 1 1 1 8 0,1667 0,0962 0,2629 0,9306 = 1,4149 0,8167 2,2316 8,0244                                 x 3 = 1 8,4876 . 1,4149 0,8167 2,2316 8,0244 ≈ 0,1667 0,0962 0,2629 0,9454

A x 3 = 1 0 1 1 0 2 - 1 1 1 - 1 4 1 1 1 1 8 0,1667 0,0962 0,2629 0,9454 = 1,3751 0,8749 2,0676 8,0892                                   x 4 = 1 8,5069 . 1,3751 0,8749 2,0676 8,0892 ≈ 0,1616 0,1029 0,2431 0,9509

A x 4 = 1 0 1 1 0 2 - 1 1 1 - 1 4 1 1 1 1 8 0,1616 0,1029 0,2431 0,9509 = 1,3556 0,8749 1,9819 8,0244

Passo 2

Continuaremos com

λ 1 = A x 1 . x 1 = A x 1 T . x 1 = 8,27 04

Logo

λ 2 = 8,47 88

λ 3 = 8,50 48

λ 4 = 8,511 2

Passo 3

Para fazer o erro percentual faremos

λ 2 = λ 2 - λ 1 λ 2 = 8,479 - 8,27 8,479 = 0,025  

E multiplicando por 100

0,025   = 2,5 %

Assim, continuamos a aplicar a fórmula e já aplicando a porcentagem

λ 3 = λ 3 - λ 2 λ 3 = 0,3 %  

λ 4 = λ 4 - λ 3 λ 4 = 0,07 %

Resposta

O autovalor com a porcentagem de erro menor que 0,1 % é   λ 4 .

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