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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 4

Seja T : R 2 → R 2 o operador linear definido por

T x 1 x 2 = x 1 - x 2 x 1 + x 2

E seja B = { u 1 ,   u 2 } a base em que

u 1 = 1 1         e         u 2 = - 1 0

  1. Encontre T B .
  2. Verifique que a Fórmula (8) vale com qualquer vetor x em R 2 .

Passo 1

Show de bola então galera, pra gente encontrar a matriz T B , precisamos encontrar cada transformação da base B e de acordo com a Fórmula (4), temos que dada a base B = { u 1 ,   u 2 ,   ⋯ ,   u n }

T B = T u 1 B T u 2 B ⋯ T u n B ]  

Passo 2

Então na letra (a), temos

T u 1 B ' = T 1 1 = 1 - 1 1 + 1 = 0 2

T u 2 B ' = T - 1 0 = - 1 - 0 - 1 + 0 = - 1 - 1

Portanto

T B ' , B = [ T u 1 B ' T u 2 B ' ] = 0 - 1 2 - 1  

Passo 3

Na letra (b), temos o vetor x → = ( x 1 ,   x 2 ) , logo de acordo com a Fórmula (8)

T B x B = T ( x ) B ⇒ 0 - 1 2 - 1   x 1 x 2 = - x 2 x 1 - x 2

Portanto a matriz T B   satisfaz a Fórmula (8).

Resposta

  1. T B = 0 - 1 2 - 1 .
  2. Demonstração.
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