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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 19

Em cada parte, B   =   { f 1 ,   f 2 ,   f 3 } é uma base de um subespaço V do espaço vetorial das funções reais definidas na reta real. Nas partes ( a ) , ( b ) e ( c ) , encontre a matriz do operador derivação D   :   V   →   V em relação a B .

(a) f 1 =   1 ,   f 2 =   s e n   x ,   f 3 =   c o s   x

(b) f 1 =   1 ,   f 2 =   e x   ,   f 3 =   e 2 x

(c) f 1 =   e 2 x ,   f 2 = x e 2 x ,   f 3 =   x 2 e 2 x

(d) Use a da parte ( c ) para a calcular D ( 4 e 2 x +   6 x e 2 x -   10 x 2 e 2 x ) .

Passo 1

  1. Vamos lá pessoal! Sendo D , dada por:

    D f ( x ) =   f ' ( x )

    Agora vamos aplicar D sobre os vetores: f 1 =   1 ,   f 2 =   sen ⁡ x ,   f 3 =   cos ⁡ x

    D f 1 = 0

    D f 2 = cos ⁡ x = f 3

    D f 3 = - sen ⁡ x = - f 2

    Onde:

    ( 0 , cos ⁡ x ,   - sen ⁡ x )

    D f 1 D f 2 D f 3 ⋅ 0 0 0 0 0 - 1 0 1 0 = f 1 f 2 f 3

    D B = 0 0 0 0 0 - 1 0 1 0

    Passo 2

  2. Vamos lá pessoal! Sendo D , dada por:

    D f ( x ) =   f ' ( x )

    Agora vamos aplicar D sobre os vetores: f 1 =   1 ,   f 2 =   e x ,   f 3 =   e 2 x

    D f 1 = 0

    D f 2 = e x = f 2

    D f 3 = 2 e 2 x = 2 f 3

    Onde:

    0 , f 2 ,   2 f 3

    D f 1 D f 2 D f 3 = 0 0 0 0 1 0 0 0 2 ⋅ f 1 f 2 f 3

    D B = 0 0 0 0 1 0 0 0 2

    Passo 3

  3. Vamos lá pessoal! Sendo D , dada por:

    D f ( x ) =   f ' ( x )

    Agora vamos aplicar D sobre os vetores: f 1 =   e 2 x ,   f 2 =   x e 2 x ,   f 3 =   x 2 e 2 x

    D f 1 = 2 e 2 x = 2 f 1

    D f 2 = e 2 x + 2 x e 2 x = f 1 + 2 f 2

    D f 3 = 2 x e 2 x + 2 x 2 e 2 x = 2 f 2 + 2 f 3

    Onde:

    2 f 1 , f 1 + 2 f 2 ,   2 f 2 + 2 f 3

    D f 1 D f 2 D f 3 = 2 0 0 1 2 0 0 2 2 ⋅ f 1 f 2 f 3

    D B = 2 0 0 1 2 0 0 2 2

    Passo 4

Nossa matriz da parte b) é dada por:

2 0 0 1 2 0 0 2 2 ⋅ f 1 f 2 f 3 = D f 1 D f 2 D f 3

Nossos vetores 4 e 2 x +   6 x e 2 x -   10 x 2 e 2 x , assim temos:

D f 1 = 8 e 2 x

D f 2 = 4 e 2 x + 12 x e 2 x

D f 3 = 12 x e 2 x - 20 x 2 e 2 x

Logo nosso conjunto é:

8 e 2 x ,   4 e 2 x + 12 x e 2 x , 12 x e 2 x - 20 x 2 e 2 x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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