Enunciado

Em cada parte, é dada uma matriz em forma escalonada por linhas. Por inspeção, encontre bases dos espaços linha e coluna de A.

(a)   1 0 2 0 0 1 0 0 0 (b)     1 - 3       0       0 0       1       0       0 0       0       0       0 0       0       0       0

(c)   1       2       4       5 0       1 - 3       0 0       0       1 - 3 0       0       0       1 0       0       0       0 (d)     1       2 - 1       5 0       1       4       3 0       0       1 - 7 0       0       0       1

Passo 1

Olá! Tudo certo? Nesta questão devemos encontrar as bases dos espaços linha e coluna das matrizes.

Para isso, devemos lembrar que as bases são as linhas ou colunas, não nulas, de matrizes escalonadas. Logo, temos:

(a) Bases espaços linha:

w 1 = [ 1 0 2   ]

w 2 = [ 0 0 1   ]

Bases espaços coluna:

w 1 = 1 0 0 w 2 = 2 1 0

Passo 2

(b) Bases espaços linha:

w 1 = [ 1 - 3 0 0   ]

w 2 = [ 0 1 0 0   ]

Bases espaços coluna:

w 1 = 1 0 0 0 w 2 = - 3       1       0       0

Passo 3

(c) Bases espaços linha:

w 1 = [ 1 2 4 5   ]

w 2 = [ 0 1 - 3 0   ]

w 3 = [ 0 0 1 - 3   ]

w 4 = [ 0 0 0 1   ]

Bases espaços coluna:

w 1 = 1 0 0 0 0 w 2 = 2 1 0 0 0 w 3 =       4 - 3       1       0       0 w 4 =       5       0 - 3       1       0

Passo 4

(d) Bases espaços linha:

w 1 = [ 1 2 - 1 5   ]

w 2 = [ 0 1 4 3   ]

w 3 = [ 0 0 1 - 7   ]

w 4 = [ 0 0 0 1   ]

Bases espaços coluna:

w 1 = 1 0 0 0 w 2 = 2 1 0 0 w 3 = - 1       4       1       0 w 4 =       5       3 - 7       1

Resposta

Veja a resolução.

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Em cada parte, encontre uma base do subespaço de R 4 gerado pelos vetores dados.(a) ( 1 ,1 ,- 4 ,- 3 ) ,( 2 ,0 ,2 ,- 2 ) ,( 2 ,- 1 ,3 ,2 ) (b) ( - 1 ,1 ,- 2 ,0 ) ,( 3 ,3 ,6 ,0 ) ,( 9 ,0 ,0 ,3 ) (c) (
Prove que os vetores linha de uma matriz invertível A de tamanho n × n formam uma base de R n .
Em cada parte, expresse o produto A x → como uma combinação linear dos vetores coluna de A - 3 6 2 5 - 4 0 2 13 8 - 1 3 - 1 2 5
Em cada parte, expresse o produto A x → como uma combinação linear dos vetores coluna de A 2 3 - 1 4 1 2
Em cada parte, expresse o produto A x → como uma combinação linear dos vetores coluna de A 4 0 - 1 3 6 2 0 - 1 4 - 2 3 5