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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 3

3. Em cada parte, decida se o conjunto de vetores dado é ortogonal em relação ao produto interno euclidiano de R 3 .

(a) 1 2 , 0 , 1 2 , 1 3 . 1 3 , - 1 3 ,   - 1 2 , 0 , 1 2

(b) 2 3 , - 2 3 , 1 3 , 2 3 , 1 3 , - 2 3 , 1 3 , 2 3 , 2 3

(c) 1,0 , 0 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0,0 , 1

(d) 1 6 , 1 6 , - 2 6 , 1 2 , - 1 2 , 0

Passo 1

Bom... o produto interno euclidiano é o que nós conhecemos da maioria das vezes:

u → ⋅ v → = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

E pra ser ortogonal:

u → ⋅ v → = 0

u → ⋅ w → = 0

v → ⋅ w → = 0

Passo 2

(a) Fazendo o produto interno:

1 2 , 0 , 1 2 ⋅ 1 3 . 1 3 , - 1 3 = 1 2 1 3 + 0 1 3 + 1 2 - 1 3

1 2 , 0 , 1 2 ⋅ 1 3 . 1 3 , - 1 3 = 0

1 2 , 0 , 1 2 ⋅ - 1 2 , 0 , 1 2 = 1 2 - 1 2 + 0 0 + 1 2 1 2

1 2 , 0 , 1 2 ⋅ - 1 2 , 0 , 1 2 = 0

1 3 . 1 3 , - 1 3 ,   - 1 2 , 0 , 1 2 = 1 3 - 1 2 + 1 3 0 + 1 3 1 2

1 3 . 1 3 , - 1 3 ,   - 1 2 , 0 , 1 2 = - 2 6

Então não é ortogonal.

Passo 3

(b) Fazendo o produto interno:

2 3 , - 2 3 , 1 3 ⋅ 2 3 , 1 3 , - 2 3 = 2 3 2 3 + - 2 3 1 3 + 1 3 - 2 3

2 3 , - 2 3 , 1 3 ⋅ 2 3 , 1 3 , - 2 3 = 0

2 3 , - 2 3 , 1 3 ⋅ 1 3 , 2 3 , 2 3 = 2 3 1 3 + - 2 3 2 3 + 1 3 2 3

2 3 , - 2 3 , 1 3 ⋅ 1 3 , 2 3 , 2 3 = 0

2 3 , 1 3 , - 2 3 ⋅ 1 3 , 2 3 , 2 3 = 2 3 1 3 + 1 3 2 3 + - 2 3 2 3

2 3 , 1 3 , - 2 3 ⋅ 1 3 , 2 3 , 2 3 = 0

Então é ortogonal.

Passo 4

(c) Fazendo o produto interno:

1,0 , 0 ⋅ 0 , 1 2 , 1 2 = 1 0 + 0 1 2 + 0 1 2

1,0 , 0 ⋅ 0 , 1 2 , 1 2 = 0

1,0 , 0 ⋅ 0,0 , 1 = 1 0 + 0 0 + 0 1

1,0 , 0 ⋅ 0,0 , 1 = 0

0 , 1 2 , 1 2 ⋅ 0,0 , 1 = 0 0 + 1 2 0 + 1 2 1

1 3 . 1 3 , - 1 3 ,   - 1 2 , 0 , 1 2 = 1 2

Então não é ortogonal.

Passo 5

(a) Fazendo o produto interno:

1 6 , 1 6 , - 2 6 ⋅ 1 2 , - 1 2 , 0 = 1 6 1 2 + 1 6 1 2 + - 2 6 0

1 6 , 1 6 , - 2 6 ⋅ 1 2 , - 1 2 , 0 = 0

Então é ortogonal.

Resposta

(a) Não

(b) Sim

(c) Não

(d) Sim

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4. Prove que se A for ortogonal, então A T será ortogonal.
Consideremos o subespaço S = x , y , z x - z = 0 } com o produto interno x , y , z ⋅ x ' , y ' , z ' = 2 x x ' + 3 y y ' + 4 z z ' Determinar S ⊥ e uma base de S ⊥ .
Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortornormal dos seguintes subespaços vetoriais do R 3 : S = x , y , z ∈ R 3 y - 2 z = 0 }
Determinar, em relação ao produto interno usual, uma base ortonormal para o subespeaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = ( 1 ,0 ,- 1 ,1 ) , v 2 = ( 0 ,1 ,0 ,1 ) e v 3 = ( 1 ,1 ,- 1 ,2 ) .
Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortornormal dos seguintes subespaços vetoriais do R 3 : S = x , y , z ∈ R 3 x + y + z = 0 }