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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 28

Consideremos o subespaço S = x , y , z     x - z = 0 } com o produto interno

x , y , z ⋅ x ' , y ' , z ' = 2 x x ' + 3 y y ' + 4 z z '

Determinar S ⊥ e uma base de S ⊥ .

Passo 1

A questão fornece um subespaço vetorial S e pede para acharmos S ⊥ . O primeiro passo é encontrar uma base para S e daí partimos para tentar achar S ⊥ !

Note que x , y , z ∈ S apenas se z = x . Assim,

x , y , z = x ,   y ,   x = x ,   0 ,   x + 0 ,   y ,   0 = x 1 ,   0 ,   1 + y 0 ,   1 ,   0

Vemos que um vetor genérico de S é escrito como combinação linear dos vetores 1 ,   0 ,   1 e 0 ,   1 ,   0 . Portanto, B = { 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 } é uma base para S .

Passo 2

Agora que temos uma base para S , podemos ir atrás de S ⊥ . Um vetor ( x , y , z ) genérico que pertença a S ⊥ deve ser ortogonal a cada um dos vetores da base de S . Assim, devemos ter

x , y , z ⋅ 1 ,   0 ,   1 = 0               e             x , y , z ⋅ 0 ,   1 ,   0 = 0

Mas tome cuidado: neste problema o produto interno é diferente!!!! O enunciado definiu que

x , y , z ⋅ x ' , y ' , z ' = 2 x x ' + 3 y y ' + 4 z z '

Assim,

x , y , z ⋅ 1 ,   0 ,   1 = 2 x ⋅ 1 + 3 y ⋅ 0 + 4 z ⋅ 1 = 2 x + 4 z = 0

x , y , z ⋅ 0 ,   1 ,   0 = 2 x ⋅ 0 + 3 y ⋅ 1 + 4 z ⋅ 0 = 3 y = 0

Portanto, resolvendo as duas equações, temos que

y = 0           e           x = - 2 z

Assim, um vetor x , y , z ∈ S ⊥ se

x , y , z = - 2 z ,   0 ,   z = z   ( - 2 ,   0 ,   1 )

Portanto, um vetor genérico de S ⊥ é combinação linear de - 2 ,   0 ,   1 . Logo, C = - 2 ,   0 ,   1 é uma base para S ⊥ , que é dado por

S ⊥ = t   - 2 ,   0 ,   1     t ∈ R }

Resposta

S ⊥ = t   - 2 ,   0 ,   1     t ∈ R }

C = - 2 ,   0 ,   1

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