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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 2

2. Em cada parte, encontre a solução de mínimos quadrados do sistema linear A x = b →

(a) A = 1 - 1 2 3 4 5 ; b → = 2 - 1 5

(b) A = 2 - 2 1 1 3 1 ; b → = 2 - 1 1

Passo 1

Então o sistema normal vai ser:

A T A x → = A T b →

(a)

1 2 4 - 1 3 5 1 - 1 2 3 4 5 x 1 x 2 = 1 2 4 - 1 3 5 2 - 1 5

1 1 + 2 2 + 4 4 1 - 1 + 2 3 + 4 5 - 1 1 + 3 2 + 5 4 - 1 - 1 + 3 3 + 5 5 x 1 x 2 = 1 2 + 2 - 1 + 4 5 - 1 2 + 3 - 1 + 5 5

O sistema normal:

21 25 25 35 x 1 x 2 = 20 20

Passo 2

Resolvendo o sistema normal para achar a solução de mínimos quadrados: (escalonando)

21 21 25 21 25 35 x 1 x 2 = 20 21 20

1 25 21 25 35 x 1 x 2 = 20 21 20

Fazendo (linha 2)=(linha 2)-25(linha 1):

1 25 21 0 110 21 x 1 x 2 = 20 21 - 80 21

Escrevendo o sistema e resolvendo:

x 1 + 25 21 x 2 = 20 21 110 21 x 2 = - 80 21

x 2 = - 80 110

x 2 = - 8 11

x 1 + 25 21 - 8 11 = 20 21

x 1 = 20 21 - 25 21 - 8 11

x 1 = 20 / 11

Então a solução é:

x 1 x 2 = 20 11 - 8 11

Passo 3

Então o sistema normal vai ser:

A T A x → = A T b →

(b)

2 1 3 - 2 1 1 2 - 2 1 1 3 1 x 1 x 2 = 2 1 3 - 2 1 1 2 - 1 1

2 2 + 1 1 + 3 3 2 - 2 + 1 1 + ( 3 ) ( 1 ) - 2 2 + 1 1 + ( 1 ) ( 3 ) - 2 - 2 + 1 1 + ( 1 ) ( 1 ) x 1 x 2 = 2 2 + 1 - 1 + ( 3 ) ( 1 ) - 2 2 + 1 - 1 + 1 1

O sistema normal:

14 0 0 6 x 1 x 2 = 6 - 4

Passo 4

Escrevendo o sistema e resolvendo:

14 x 1 = 6 6 x 2 = - 4

x 1 = 6 14

x 1 = 3 7

x 2 = - 4 6

x 2 = - 2 3

Então a solução é:

x 1 x 2 = 3 7 - 2 3

Resposta

(a) x 1 x 2 = 20 11 - 8 11

(b) x 1 x 2 = 3 7 - 2 3

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