Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 24
Determinar, em relação ao produto interno usual, uma base ortonormal para o subespeaço do gerado pelos vetores , e .
Passo 1
A questão fornece um conjunto gerador para um subespaço vetorial e pede para construirmos uma base ortonormal para esse espaço. Ainda não sabemos se esse conjunto gerador é uma base ou não. Para isso, temos que verificar se esse conjunto é LI ou LD.
Observe que
Portanto, temos
Isso siginifca que é combinação linear de e . Desta forma, o conjunto é LD. Como esse conjunto é LD, podemos eliminar um dos vetores para obter a base. Eliminando , obtemos o seguinte conjunto gerador:
Sempre que um vetor é combinação linear dos demais num conjunto gerador, você pode retirá-lo do conjunto sem problemas!
Como os vetores de são LI, é uma base para o subespaço, mas note que esse base não é ortonormal!
Passo 2
Como não é uma base ortogonal, vamos procurar uma base que seja! Para isso, vamos aplicar o processo de ortogonalização de Grand-Schimidt. O primeiro passo é escolher uma dos vetores da base , vamos escolher e chama-lo de :
Aplicando o processo de Garnd-Schimidt, o segundo vetor da base será:
Assim, usando a fórmula da projeção:
Observe que
Por isso,
Assim,
Portanto,
é uma base ortogonal! Note que
Com isso, os vetores são de fato ortogonais!
Passo 3
Para que a base seja ortonormal, basta normalizar cada vetor de :
Portanto, para achar os vetores normalizados, basta dividir pela norma:
Assim, uma base ortonormal de será