4. Prove que se A for ortogonal, então A T será ortogonal.

Passo 1

E aí? Bora fazer mais essa?

Temos como definição que para ser ortogonal:

A A T = I

E com base na definição obtemos:

A T = A - 1

Tá, mas ainda está muito abstrato?

Então se liga no próximo passo que vamos testar.

Passo 2

Vamos pegar uma matriz:

A = 1 2 - 1 2 1 2 1 2

Precisamos da sua transposta, então:

A T = 1 2 1 2 - 1 2 1 2

E temos que:

I = 1 0 0 1

Agora vamos fazer:

A A T = 1 2 - 1 2 1 2 1 2 ∙ 1 2 1 2 - 1 2 1 2

A A T = 1 2 + 1 2 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 + 1 2

A A T = 2 2 0 0 2 2

A A T = 1 0 0 1

Logo, temos que:

A A T = I

E podemos concluir que:

A T = A - 1

Então, A T é uma matriz ortogonal.

Resposta

Então, por definição temos que A T é uma matriz ortogonal.

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