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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 23a

Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortornormal dos seguintes subespaços vetoriais do R 3 :

S = x , y , z ∈ R 3     y - 2 z = 0 }

Passo 1

Bom, o problema pede para acharmos uma base que seja ortonormal para o subespaço vetorial S dado. A primeira coisa que você deve fazer nesse problema é encontrar uma base qualquer para esse subespaço, depois você se preocupar em ortogonalizá-la!

O subespaço S representa o conjunto dos vetores ( x , y , z ) do R 3 tais que y - 2 z = 0 . Assim, temos que

y = 2 z

Portanto,

x , y , z = x ,   2 z ,   z = x   1 ,   0 ,   0 + z   ( 0 ,   2 ,   1 )

Desta forma, vemos que o conjunto B = 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2 ,   1 é um conjunto gerador para S , pois qualquer vetor de S pode ser escrito como combinação linear deles!

Passo 2

Note que os vetores do conjunto B são LI, pois um não é múltiplo do outro. Portanto, como B é gerador e LI, B é uma base para S . O que temos que fazer agora é verificar se B é ortogonal. Fazendo o produto escalar:

1 ,   0 ,   0 ⋅ 0 ,   2 ,   1 = 0 + 0 + 0 = 0

Como o produto escalar é nulo, os vetores são ortogonais: B é uma base ortogonal! Falta apenas normalizar os vetores:

( 1 ,   0 ,   0 ) = 1           e           ( 0 ,   2 ,   1 ) = 5

Assim, os vetores normalizados serão:

u 1 = 1 1 1 ,   0 ,   0           e           u 2 = 1 5 ( 0 ,   2 ,   1 )

Portanto, uma base ortonormal para S será

B = 1 ,   0 ,   0 ,   0 , 2 5 , 1 5

Resposta

B = 1 ,   0 ,   0 ,   0 , 2 5 , 1 5

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Em cada parte, verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz para os vetores dados usando o produto interno euclidiano. u = 3,2 , v = 4 , - 1 u = - 3,1 , 0 , v = 2 , - 1,3 u = - 4,2 , 1 , v =
4. Prove que se A for ortogonal, então A T será ortogonal.
Consideremos o subespaço S = x , y , z x - z = 0 } com o produto interno x , y , z ⋅ x ' , y ' , z ' = 2 x x ' + 3 y y ' + 4 z z ' Determinar S ⊥ e uma base de S ⊥ .
Determinar, em relação ao produto interno usual, uma base ortonormal para o subespeaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = ( 1 ,0 ,- 1 ,1 ) , v 2 = ( 0 ,1 ,0 ,1 ) e v 3 = ( 1 ,1 ,- 1 ,2 ) .