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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 23b

Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortornormal dos seguintes subespaços vetoriais do R 3 :

S = x , y , z ∈ R 3     x + y + z = 0 }

Passo 1

Bom, o problema pede para acharmos uma base que seja ortonormal para o subespaço vetorial S dado. A primeira coisa que você deve fazer nesse problema é encontrar uma base qualquer para esse subespaço, depois você se preocupar em ortogonalizá-la!

O subespaço S representa o conjunto dos vetores ( x , y , z ) do R 3 tais que x + y + z = 0 . Assim, temos que

z = - x - y

Portanto,

x , y , z = x ,   y ,   - x - y = x   1 ,   0 ,   - 1 + y   ( 0 ,   1 ,   - 1 )

Desta forma, vemos que o conjunto B = 1 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   - 1 é um conjunto gerador para S , pois qualquer vetor de S pode ser escrito como combinação linear deles!

Passo 2

Note que os vetores do conjunto B são LI, pois um não é múltiplo do outro. Portanto, como B é gerador e LI, B é uma base para S . O que temos que fazer agora é verificar se B é ortogonal. Fazendo o produto escalar:

1 ,   0 ,   - 1 ⋅ 0 ,   1 ,   - 1 = 0 + 0 + 1 = 1 ≠ 0

Como o produto escalar não é nulo, os vetores não são ortogonais: teremos que aplicar o processo de ortogonalização nessa base!

Sejam v 1 = ( 1 ,   0 , - 1 ) e v 2 = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) os vetores da base não ortogonal e sejam u 1 e u 2 os vetores da base ortogonal. Vamos tomar u 1 = v 1 = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) . Pelo processo de Grand-Schimidt, v 2 é dado por:

u 2 = v 2 - p r o j u 1 v 2

u 2 será v 2 menos a projeção ortogonal de v 2 na direção de u 1 . Assim,

p r o j u 1 v 2 = u 1 ⋅ v 2 u 1 ⋅ u 1 u 1 = 1 ,   0 ,   - 1 ⋅ 0 ,   1 ,   - 1 1 ,   0 ,   - 1 ⋅ 1 ,   0 ,   - 1 1 ,   0 ,   - 1 = 1 2 1 ,   0 ,   - 1 = 1 2 ,   0 ,   - 1 2

Assim,

u 2 = 0 ,   1 ,   - 1 - 1 2 ,   0 ,   - 1 2 = - 1 2 ,   1 ,   - 1 2

Portanto,

C = 1 ,   0 ,   - 1 ,   - 1 2 ,   1 ,   - 1 2

é uma base ortogonal!

Passo 3

Para que a base seja ortonormal, basta normalizar cada vetor de C :

( 1 ,   0 ,   - 1 ) = 2

- 1 2 ,   1 ,   - 1 2 = 6 2

Portanto, os vetores normalizados serão

1 2 1 ,   0 ,   - 1 = 1 2 ,   0 ,   - 1 2

2 6 - 1 2 ,   1 ,   - 1 2 = - 1 6 , 2 6 ,   - 1 6

Assim, uma base ortonormal de S será

B = 1 2 ,   0 ,   - 1 2 ,   - 1 6 , 2 6 ,   - 1 6

Resposta

B = 1 2 ,   0 ,   - 1 2 ,   - 1 6 , 2 6 ,   - 1 6

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