Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 1

Em cada parte, decida se a matriz é elementar.

Passo 1

Enton, pra sabermos se essas matrizes são elementares ou não, temos que ver se com apenas uma operação elementar nós conseguimos chegar na matriz identidade. E nossas operações elementares são:

Multiplicar uma linha inteira por um constante não nula.
Trocar duas linhas entre si.
Somar uma linha a outra linha quantas vezes necessárias.

Show de bola, então se essas são as operações elementares, eu só preciso saber se aplicando somente um delas eu consigo chegar na matriz identidade. Bora lá.

Passo 2

Na letra (a), temos a matriz:

Aqui pessoal, se eu somar a Linha 2 mais cinco vezes a Linha 1, , vamos obter a matriz identidade:

Logo ela é uma matriz elementar.

Passo 3

Na letra (b), temos a matriz:

Ela é bem parecida com a matriz da letra (a) , a não ser pelas linhas trocadas, ou seja, se na matriz da letra (a) eu precisei somente de uma operação elementar para chegar na matriz identidade, na matriz da letra (b) eu vou precisar da mesma operação elementar e depois trocar as linhas para chegar na identidade. Maaaass trocar as linhas de uma matriz, também é uma operação elementar, logo eu precisaria de DUAS operações elementares na letra (b), o que faz nossa matriz NÃO ser elementar.

Passo 4

Já na nossa letra (c), temos a matriz:

Mas logo de cara a gente pode ver que a Linha 3 dela é uma linha só de zeros, ou seja, nenhuma operação elementar que a gente pode fazer, vai tornar ela a matriz identidade. Enton, nossa matriz c, também não é elementar.

Passo 5

Finalmente chegamos no chefão do exercício, nossa matriz da letra (d) é:

Show de Bolinhas, então agora a gente só precisa transformar essa matriz aí na identidade que fica tudo xuxu beleza. Pra isso a gente pode primeiro subtrair a última linha duas vezes da primeira linha, e depois dividir a por 2:

Mas pra chegarmos na matriz identidade precisamos de duas operações, primeiro subtraímos com e depois dividimos a por 2. Logo se precisamos de mais de uma operação, nossa matriz também não é elementar.