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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 40

Mostre que

A = 0 a 0 0 0 b 0 c 0 0 0 d 0 e 0 0 0 f 0 g 0 0 0 h 0

Não é invertível, com qualquer valor das entradas

Passo 1

Falaa galerinha, nesse exercício aqui a gente quer mostrar que essa matriz A   não é invertível, para qualquer valor das entradas, ou seja, independente do quanto vale a ,   b ,   c ,   d ,   e ,   f ,   g e h , nossa matriz não pode ser invertível. Bom, pra encontrar a inversa de uma matriz a gente pode aplicar o algoritmo de inversibilidade que diz pra gente operar [ A | I ] até se transformar em [ I | X ] onde X = A - 1 , portanto vamos aplicar esse algoritmo e ver se vai dar alguma coisa errada.

Passo 2

A I = 0 a 0 0 0 b 0 c 0 0 0 d 0 e 0 0 0 f 0 g 0 0 0 h 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ⇒

⇒ L 1 ⇔ L 2 L 2 ⇔ L 1   L 4 ⇔ L 5 L 5 ⇔ L 4 = b 0 c 0 0 0 a 0 0 0 0 d 0 e 0 0 0 0 h 0 0 0 f 0 g 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ⇒

⇒ L 1 = 1 b L 1 L 2 = 1 a L 2   L 4 = 1 h L 4 L 5 = 1 f L 5 = 1 0 c b 0 0 0 1 0 0 0 0 d 0 e 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 g f 0 1 b 0 0 0 1 a 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 h 0 0 0 1 f 0 ⇒

⇒       L 3 = L 3 - d L 2 - e L 3     = 1 0 c b 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 g f 0 1 b 0 0 0 1 a 0 0 0 0 - d a 0 1 0 - e h 0 0 0 0 1 h 0 0 0 1 f 0 ⇒

Passo 3

E olha nossa famigerada linha de zeros ali na linha 3!!!! Agora sim, a gente sabe que uma matriz que possui uma linha de zeros, NÃO PODE SER INVERTIDA, logo nossa matriz, mesmo sem conhecermos os valores de a ,   b ,   c ,   d ,   e ,   f ,   g ou h possui essa tal linha de zeros, dessa forma independente desses valores, nunca vamos conseguir inverter a matriz A .

Resposta

Demonstração

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