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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 41

Prove que se A e B forem matrizes m × n , então A   e   B são equivalentes por linhas se, e só se, A   e   B têm a mesma forma escalonada.

Passo 1

Show de boletas, queremos provar que se A   e   B são de mesmo tamanho e equivalentes por linhas, então A   e   B têm a mesma forma escalonada reduzida por linhas. A gente sabe que pra poder fazer uma matriz ficar na forma escalonada reduzida por linhas temos que fazer uma série de operações elementares nessa matriz até ela assumir essa forma e o mais legal de tudo é que como essas operações são elementares, podemos representa-las como uma matriz.

Passo 2

Sabendo disso, suponha que nossa matriz A tenha forma escalonada E , e precisamos fazer uma série de operações elementares que representadas como matrizes, o produto, seja a matriz M

A = M ⏝ m a t r i z   q u e   r e p r e s e n t a   a s   o p e r a ç õ e s   r e a l i z a d a s   e m   A × E ⏝ m a t r i z   n a   f o r m a   e s c a l o n a d a   r e d u z i d a   p o r   l i n h a s

Passo 3

Como A   e   B são equivalentes por linhas, queremos dizer que podemos realizar uma sequência de operações elementares em B ou em A até que se transformem um no outro. Se representarmos essas operações elementares como a matriz N , temos que

B = N ⏝ m a t r i z   q u e   r e p r e s e n t a   a s   o p e r a ç õ e s   n e c e s s á r i a s   p a r a   c h e g a r   e m   B × A

Mas como A = M × E , e A   e   B possuem o mesmo tamanho m × n , podemos substituir em B

B = N × M ⏝ o p e r a ç õ e s   r e a l i z a d a s   e m   A + o p e r a ç õ e s   r e a l i z a d a s   e m   B × E ⏝ m a t r i z   n a   f o r m a   e s c a l o n a d a   r e d u z i d a   p o r   l i n h a s

Logo a matriz B possui a mesma forma escalonada reduzida por linhas E que a matriz A .

Resposta

Demonstração

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Em cada parte, são dadas uma matriz elementar E e uma matriz A . Escreva as operações elementares com linhas correspondentes a E e mostre que, aplicando essas operações a A , o resultado E A . E = 0 1
1 5 1 5 - 2 5 1 5 1 5 1 10 1 5 - 4 5 1 10
Encontre uma matriz elementar E que satisfaça a equação. E B = D E D = B E B = F E F = B
Encontre uma matriz elementar E que satisfaça a equação. E A = B E B = A E A = C E C = A
Em cada parte, encontre uma operação com linhas e a matriz elementar correspondente que retorna a matriz elementar dada à matriz identidade 1 0 - 3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0