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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.7 - Ex. 6

Em cada parte, encontre uma base do espaço nulo de A .

(a) A = 1 - 1       3 5 - 4 - 4 7 - 6       2 (b) A = 2 0 - 1 4 0 - 2 0 0       0

(c) A =       1 4 5 2       2 1 3 0 - 1 3 2 2

(d) A =       1       4       5       6       9       3 - 2       1       4 - 1 - 1       0 - 1 - 2 - 1       2       3       5       7       8

(e) A =       1 - 3       2       2       1       0       3       6       0 - 3       2 - 3 - 2       4       4       3 - 6       0       6       5 - 2       9       2 - 4 - 5

Passo 1

Olá! Tudo bem? Precisamos encontrar o espaço nulo em cada item. Então temos:

(a) Primeiro, reduziremos A para a sua forma escalonada.

à = 1 0 - 16 0 1 - 19 0 0           0

Temos duas colunas com pivôs e uma livre. Deste modo, pegamos a coluna livre e multiplicamos por (-1), ficamos com:

16 19

Agora, adicionaremos I a nossa nova matriz e ficamos com:

16 19 1

Logo, v = 16 19 1 é o espaço nulo.

Passo 2

(b) Como fizemos no item (a), agora temos:

à = 1 0 - 1 / 2 0 0 0 0 0 0

A parte livre é:

0 - 1 / 2 × - 1 = 0 1 / 2

Agora, adicionaremos I a nossa nova matriz e ficamos com:

0 1 / 2 1 0 0 1

Logo, o espaço nulo é:

v 1 = 0 1 0 e v 2 = 1 / 2 0 1

Passo 3

(c) Como fizemos no item (a), agora temos:

à = 1 0 1 - 2 / 7 0 1 1       4 / 7 0 0 0       0

A parte livre é:

1 - 2 / 7 1       4 / 7 × - 1 = - 1       2 / 7 - 1 - 4 / 7

Agora, adicionaremos I a nossa nova matriz e ficamos com:

- 1       2 / 7 - 1 - 4 / 7       1       0       0       1

Logo, o espaço nulo é:

v 1 = - 1 - 1       1       0 e v 2 =       2 / 7 - 4 / 7       0       1

Passo 4

(d) Como fizemos no item (a), agora temos:

à = 1 0 1 2 1 0 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A parte livre é:

1 2 1 1 1 2 × - 1 = - 1 - 2 - 1 - 1 - 1 - 2

Agora, adicionaremos I a nossa nova matriz e ficamos com:

- 1 - 2 - 1 - 1 - 1 - 2       1       0       0       0       1       0       0       0       1

Logo, o espaço nulo é:

v 1 = - 1 - 1       1       0       0 , v 2 = - 2 - 1       0       1       0 e v 3 = - 1 - 2       0       0       1

Passo 5

(e) Similarmente aos passos anteriores, temos:

à = 1 0 0 2       4 / 3 0 1 0 0 - 1 / 6 0 0 1 0 - 5 / 12 0 0 0 0         0 0 0 0 0         0

Resumindo, temos:

v 1 = - 2       0       0       1       0 e v 2 = - 4 / 3       1 / 6       5 / 12         0         1

Resposta

(a) v = 16 19 1

(b) v 1 = 0 1 0 e v 2 = 1 / 2 0 1

(c) v 1 = - 1 - 1       1       0 e v 2 =       2 / 7 - 4 / 7       0       1

(d) v 1 = - 1 - 1       1       0       0 , v 2 = - 2 - 1       0       1       0 e v 3 = - 1 - 2       0       0       1

(e) v 1 = - 2       0       0       1       0 e v 2 = - 4 / 3       1 / 6       5 / 12         0         1

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