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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 6

Nos Exercícios 3 - 12 , determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham.

O conjunto de todas as ênuplas de números reais da forma ( x ,   x , ⋯ ,   x ) com as operações padrão de R n .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para testar os axiomas, precisaremos fazer algumas considerações:

Seja:

u = ( x ,   x ,   ⋯   ,   x )

v = ( x ' ,   x ' ,   ⋯   ,   x ' )

w = ( x ' ' ,   x ' ' ,   ⋯   ,   x ' ' )

Seja V o conjunto de números reais da forma:

( x ,   x ,   ⋯   ,   x )

Então:

u + v = x ,   x ,   ⋯   ,   x + ( x ' ,   x ' ,   ⋯   ,   x ' )

u + v = ( x + x ' ,   x + x ' ,   ⋯   ,   x + x ' )

Assim, podemos dizer que u + v está em V , portanto o axioma 1 é satisfeito.

Passo 2

Vamos encontrar v + u :

v + u = x ' ,   x ' ,   ⋯   ,   x ' + x ,   x ,   ⋯   ,   x

v + u = x + x ' ,   x + x ' ,   ⋯   ,   x + x '

Portanto, podemos dizer que:

u + v = v + u

Estando assim satisfeito o axioma 2 .

Passo 3

O axioma 3 diz que u + ( v + w ) tem que ser igual a u + v + w . Temos que:

u + v + w = x ,   x ,   ⋯   ,   x + x ' ,   x ' ,   ⋯   ,   x ' + x ' ' ,   x ' ' ,   ⋯   ,   x ' '

u + v + w = x ,   x ,   ⋯   ,   x + x ' + x ' ' , x ' +   x ' ' ,   ⋯   ,   x ' + x ' '

Portanto:

u + v + w = x + x ' + x ' ' , x + x ' +   x ' ' ,   ⋯   , x +   x ' + x ' '

Agora vamos avaliar u + v + w . Temos que:

u + v + w = x ,   x ,   ⋯   ,   x + x ' ,   x ' ,   ⋯   ,   x ' + x ' ' ,   x ' ' ,   ⋯   ,   x ' '

u + v + w = x + x ' ,   x + x ' ,   ⋯   ,   x + x ' + x ' ' ,   x ' ' ,   ⋯   ,   x ' '

Portanto:

u + v + w = x + x ' + x ' ' , x + x ' +   x ' ' ,   ⋯   , x +   x ' + x ' '

Ou seja:

u + v + w = u + v + w

Ficando assim satisfeito o terceiro axioma.

Passo 4

Seja 0,0 , ⋯ , 0 o vetor zero em V , temos que:

u + 0 = x ,   x ,   ⋯   ,   x + 0,0 , ⋯ , 0

u + 0 = x + 0 ,   x + 0 ,   ⋯   ,   x + 0

Logo:

u + 0 = x , x , ⋯ , x = u

Temos também que:

0 + u = 0,0 , ⋯ , 0 + x ,   x ,   ⋯   ,   x

0 + u = 0 + x , 0 + x , ⋯ , 0 + x

Logo:

0 + u = x , x , ⋯ , x = u

Portanto:

u + 0 = 0 + u = u

Ficando assim satisfeito o axioma 4 .

Passo 5

Seja o negativo de u :

- u = - x , - x , ⋯ , - x

Portanto:

u + - u = x , x , ⋯ , x + - x , - x , ⋯ , - x

u + - u = x - x , x - x , ⋯ , x - x

Logo:

u + - u = 0,0 , ⋯ , 0

Além disso, podemos dizer que:

u + - u = - u + u

Portanto, - u está em V e u + - u = - u + u = 0 . Sendo assim o axioma 5 está provado.

Seja k um escalar, temos que:

k u = k x , x , ⋯ , x

k u = k x , k x , ⋯ , k x

Portanto o axioma 6 está satisfeito.

Passo 6

Já sabemos que u + v = ( x + x ' ,   x + x ' ,   ⋯   ,   x + x ' ) , portanto:

k u + v = k ( x + x ' ,   x + x ' ,   ⋯   ,   x + x ' )

k u + v = k x + k x ' , k x + k x ' ,   ⋯   , k x + k x '

Como:

k u = ( k x , k x , ⋯ , k x )

E:

k v = k x ' , k x ' ,   ⋯ , k x '

Podemos concluir que:

k u + v = k u + k v

Respeitando assim o axioma 7 .

Passo 7

Vamos encontrar k + m u :

k + m u = k + m x , x , ⋯ , x

k + m u = ( k x + m x , k x + m x , ⋯ , k x + m x )

Temos também que:

k u + m u = k x , x , ⋯ , x + m x , x , ⋯ , x

k u + m u = ( k x , k x , ⋯ , k x ) + ( m x , m x , ⋯ , m x )

k u + m u = ( k x + m x , k x + m x , ⋯ , k x + m x )

Ou seja:

k + m u = k u + m u

Satisfazendo assim o axioma 8 .

Vamos encontrar agora k m u

k m u = k ( m x , m x , ⋯ , m x )

k m u = ( k m x , k m x , ⋯ , k m x )

k m u = k m x , x , ⋯ , x

Ou seja:

k m u = k m u

Satisfazendo assim o axioma 9 .

Passo 8

Para o axioma 10 , temos que:

1 u = 1 x , x , ⋯ , x

1 u = x , x , ⋯ , x

1 u = u

Portanto o axioma 10 é satisfeito.

Podemos então concluir que o conjunto de todos os números reais da forma ( x , x , ⋯ , x ) é um espeço vetorial.

Resposta

É um espaço vetorial.

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