Seja V = R 3 munido do produto interno usual. Dados os subespaços S 1 = x , y , z x - 2 y + 3 z = 0 } S 2 = t2 ,1 ,- 1 t ∈ R } determinar S 1 ⊥ e S 2 ⊥ .

S 1 ⊥ = t1 ,- 2 ,3 t ∈ R } S 2 ⊥ = x , y , z 2 x + y - z = 0 }

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 27

Seja munido do produto interno usual. Dados os subespaços

determinar e .

Passo 1

A questão fornece dois subespaços vetoriais e pede para acharmos os espaços ortogonais a eles. Para isso, temos que achar uma base para cada subespaço.

Para a base já foi dada de graça: note que esse subespaço é o conjunto das combinações lineares do vetor . Portanto, uma base para será

Observe que a dimensão de é , de modo que a dimensão de deve ser .

Já para , temos que , de modo que

Portanto,

Assim, uma base para esse subespaço será

Passo 2

Para achar , basta lembrar que pertence a esse subespaço se ele for ortogonal a todos os vetores da base de . Assim, devemos fazer o produto interno de com os vetores e e igualar a zero:

Logo, como e :

Portanto, é gerado pelo vetor :

Observe que a dimensão de é , o que faz sentido já que a dimensão de é .

Passo 3

Para achar , você deve proceder da mesma forma, mas usando a base . Como a base tem apenas um vetor, temos que

Portanto, a condição imposta para o vetor nesse caso é

Com isso:

Note que as vezes é mais simples escrever usando uma notação e as vezes usando outra: você é sempre livre para usar a que você se identifica mais! 😊

Resposta

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O conjunto B = { 2 ,- 1 ,k ,1 } é uma base ortogonal do R 2 em relação ao produto interno x 1 , y 1 ⋅ x 2 ,y 2 = 2 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 Determinar o valor de k , e obter, a partir de

O conjunto B = 1 2 , 1 2 ,- 1 2 , 1 2 é uma base ortonormal do R 2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = ( 2 ,4 ) em relação à base B . Utilizar o processo apresentado em 3

Seja W o subespaço de R 3 gerado por V =1 ,- 1 ,1 . Encontre uma base para W ⊥ .

Considere as retas x , y , z = t ( 1 ,2 ,- 3 ) e x , y , z =0 ,1 ,2 + s ( 2 ,4 ,- 6 ) em R 3 . Encontre a equação geral do plano que contém estas duas retas e ache uma base ortonormal para este plano.

Ache as equações dos planos em R 3 ortogonais ao vetor (2, 2, 2), que distam 3 do ponto (1, 1, 1). Estes planos são subespaços de R 3 ? Caso afirmativo, encontre uma base para eles.