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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 27

Seja V = R 3 munido do produto interno usual. Dados os subespaços

S 1 = x , y , z     x - 2 y + 3 z = 0 }

S 2 = t   2 ,   1 ,   - 1     t ∈ R }

determinar S 1 ⊥ e S 2 ⊥ .

Passo 1

A questão fornece dois subespaços vetoriais e pede para acharmos os espaços ortogonais a eles. Para isso, temos que achar uma base para cada subespaço.

Para S 2 a base já foi dada de graça: note que esse subespaço é o conjunto das combinações lineares do vetor ( 2 ,   1 ,   - 1 ) . Portanto, uma base para S 2 será

B 2 = { 2 ,   1 ,   - 1 }

Observe que a dimensão de S 2 é 1 , de modo que a dimensão de S 2 ⊥ deve ser 3 - 1 = 2 .

Já para S 1 , temos que x = 2 y - 3 z , de modo que

x , y , z = 2 y - 3 z ,   y ,   z = 2 y ,   y ,   0 + ( - 3 z ,   0 ,   z )

Portanto,

x ,   y ,   z = y 2 ,   1 ,   0 + z - 3 ,   0 ,   1

Assim, uma base para esse subespaço será

B 1 = { 2 ,   1 ,   0 ,   - 3 ,   0 ,   1 }

Passo 2

Para achar S 1 ⊥ , basta lembrar que ( x , y , z ) pertence a esse subespaço se ele for ortogonal a todos os vetores da base de S 1 . Assim, devemos fazer o produto interno de x ,   y ,   z com os vetores 2 ,   1 ,   0 e - 3 ,   0 ,   1 e igualar a zero:

x , y , z ⋅ 2 ,   1 ,   0 = 0 ⇒ 2 x + y = 0 ⇒ y = - 2 x

x , y , z ⋅ - 3 ,   0 ,   1 = 0 ⇒ - 3 x + z = 0 ⇒ z = 3 x

Logo, como y = - 2 x e z = 3 x :

x , y , z = x ,   - 2 x ,   3 x = x   ( 1 ,   - 2 ,   3 )

Portanto, S 1 ⊥ é gerado pelo vetor ( 1 ,   - 2 ,   3 ) :

S 1 ⊥ = t   1 ,   - 2 ,   3     t ∈ R }

Observe que a dimensão de S 1 ⊥ é 1 , o que faz sentido já que a dimensão de S 1 é 2 .

Passo 3

Para achar S 2 ⊥ , você deve proceder da mesma forma, mas usando a base B 2 . Como a base B 2 tem apenas um vetor, temos que

x , y , z ⋅ 2 ,   1 ,   - 1 = 0 ⇒ 2 x + y - z = 0

Portanto, a condição imposta para o vetor x ,   y ,   z nesse caso é

2 x + y - z = 0

Com isso:

S 2 ⊥ = x , y , z     2 x + y - z = 0 }

Note que as vezes é mais simples escrever usando uma notação e as vezes usando outra: você é sempre livre para usar a que você se identifica mais! 😊

Resposta

S 1 ⊥ = t   1 ,   - 2 ,   3     t ∈ R }

S 2 ⊥ = x , y , z     2 x + y - z = 0 }

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