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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 12

Em cada parte, determine se o operador linear T : R n → R n é injetor; encontre T - 1 x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n .

  1. T x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = 0 ,   x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n - 1
  2. T x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = x n , x n - 1 ,   … ,   x 2 ,   x 1
  3. T x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n =   x 2 , x 3 ,   … ,   x n ,   x 1

Passo 1

Show de bola então, pra saber se a transformação é injetora ou não, a gente precisa saber se ela tem n u l T = 0 , ou seja, se a dimensão do núcleo for 0 , nossa matriz é injetora e invertível. Isso quer dizer que

T x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = 0 ,   0,0 ,   … ,   0

Se, e somente se x 1 = x 2 = … = x n = 0 , caso contrário nossa transformação não é injetora.

Passo 2

Na letra (a), temos

T x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = 0 ,   x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n - 1

E aqui se a gente pegar o vetor ( 0 ,   0 ,   … ,   x n ) , vamos ter

T ( 0 ,   0 ,   … ,   x n ) = 0 ,   0,0 ,   … ,   0

Logo, ( 0 ,   0 ,   … ,   x n ) pertence ao núcleo de T o que faz com que n u l T ≠ 0 , portanto nossa transformação não é injetora e não possui inversa.

Passo 3

Na letra (b), temos

T x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = x n , x n - 1 ,   … ,   x 2 ,   x 1

E a única solução que temos para o sistema

T x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = 0 ,   0,0 ,   … ,   0

É o vetor 0 ,   0,0 ,   … ,   0 , portanto n u l T = 0 e T é injetora. E pra calcularmos a inversa, temos que encontrar uma transformação tal que

T - 1 x n , x n - 1 ,   … ,   x 2 ,   x 1 = x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n

Ou seja, a transformação T fazia uma troca entre os termos, a inversa precisa destrocar esses termos. Logo

T - 1 x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = x n , x n - 1 ,   … ,   x 2 ,   x 1

Passo 4

Na letra (c) a transformação dada é

T x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n =   x 2 , x 3 ,   … ,   x n ,   x 1

E como a única solução para T x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = 0 ,   0,0 ,   … ,   0 é x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = 0 ,   0,0 ,   … ,   0 , temos que n u l T = 0 e portanto a transformação é injetora. E pra calcularmos a inversa, precisamos desfazer a o que transformação realizou, como ela trocou os termos, vamos destrocar

T x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n =   x 2 , x 3 ,   … ,   x n ,   x 1

T - 1   x 2 , x 3 ,   … ,   x n ,   x 1 = x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n

Logo

T - 1 x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n =   x n , x 1 ,   … ,   x n - 1

Resposta

  1. Não é injetora e não é invertível.
  2. É injetora e T - 1 x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = x n , x n - 1 ,   … ,   x 2 ,   x 1 .
  3. É injetora e T - 1 x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n =   x n , x 1 ,   … ,   x n - 1 .
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