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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 20

  1. T 1 : R 2 → R 2 é a projeção ortogonal no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a projeção ortogonal no eixo y .
  2. T 1 : R 2 → R 2 é a rotação em torno da origem pelo ângulo θ 1 e T 2 : R 2 → R 2 é a rotação em torno da origem pelo ângulo θ 2 .
  3. T 1 : R 3 → R 3 é a rotação em torno do eixo x pelo ângulo θ 1 e T 2 : R 3 → R 3 é a rotação em torno do eixo z pelo ângulo θ 2 .

Passo 1

Então pra gente saber se T 1 ∘ T 2 = T 2 ∘ T 1 , vamos encontrar a representação matricial de cada transformação e ver se a igualdade é respeitada.

Passo 2

Na letra (a), temos que T 1 : R 2 → R 2 é a projeção ortogonal no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a projeção ortogonal no eixo y . Logo

T 1 x ,   y = ( x ,   0 )

T 2 x ,   y = ( 0 ,   y )

E a representação matricial fica

P 1 = 1 0 0 0

P 2 = 0 0 0 1

Portanto temos que T 1 ∘ T 2 = P 1 P 2 e T 2 ∘ T 1 = P 2 P 1

T 1 ∘ T 2 = P 1 P 2 ⇒ 1 0 0 0 0 0 0 1 = 0 0 0 0

T 2 ∘ T 1 = P 2 P 1 ⇒ 0 0 0 1 1 0 0 0 = 0 0 0 0

T 1 ∘ T 2 = T 2 ∘ T 1

Passo 3

Na letra (b), temos que T 1 : R 2 → R 2 é a rotação em torno da origem pelo ângulo θ 1 e T 2 : R 2 → R 2 é a rotação em torno da origem pelo ângulo θ 2 , sabemos que a matriz rotação em R 2 é dada por

R = cos ⁡ θ - s e n θ s e n θ cos ⁡ θ

Logo para T 1 e T 2 , temos

R 1 = cos ⁡ θ 1 - s e n θ 1 s e n θ 1 cos ⁡ θ 1

R 2 = cos ⁡ θ 2 - s e n θ 2 s e n θ 2 cos ⁡ θ 2

Sabendo disso, temos que T 1 ∘ T 2 = R 1 R 2 e T 2 ∘ T 1 = R 2 R 1 , então

T 1 ∘ T 2 = R 1 R 2 ⇒ cos ⁡ θ 1 - s e n θ 1 s e n θ 1 cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 - s e n θ 2 s e n θ 2 cos ⁡ θ 2 ⇒

R 1 R 2 = cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 - s e n θ 1 s e n θ 2 - cos ⁡ θ 1 s e n θ 2 - s e n θ 1 cos ⁡ θ 2 s e n θ 1 cos ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ 1 s e n θ 2 - s e n θ 1 s e n θ 2 + cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2

R 1 R 2 = cos ⁡ θ 1 + θ 2 - s e n θ 1 + θ 2 s e n θ 1 + θ 2 cos ⁡ θ 1 + θ 2

T 2 ∘ T 1 = R 2 R 1 ⇒ cos ⁡ θ 2 - s e n θ 2 s e n θ 2 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 - s e n θ 1 s e n θ 1 cos ⁡ θ 1 ⇒

R 2 R 1 = cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 - s e n θ 1 s e n θ 2 - cos ⁡ θ 1 s e n θ 2 - s e n θ 1 cos ⁡ θ 2 s e n θ 1 cos ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ 1 s e n θ 2 - s e n θ 1 s e n θ 2 + cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2

R 2 R 1 = cos ⁡ θ 1 + θ 2 - s e n θ 1 + θ 2 s e n θ 1 + θ 2 cos ⁡ θ 1 + θ 2

Portanto

T 1 ∘ T 2 = T 2 ∘ T 1

Passo 4

E na letra (c), temos que T 1 : R 3 → R 3 é a rotação em torno do eixo x pelo ângulo θ 1 e T 2 : R 3 → R 3 é a rotação em torno do eixo z pelo ângulo θ 2 , então a representação matricial das transformações é dada por

R 1 = 1 0 0 0 cos ⁡ θ 1 - s e n θ 1 0 s e n θ 1 cos ⁡ θ 1

R 2 = cos ⁡ θ 2 - s e n θ 2 0 s e n θ 2 cos ⁡ θ 2 0 0 0 1

Sabendo disso, temos que T 1 ∘ T 2 = R 1 R 2 e T 2 ∘ T 1 = R 2 R 1 , então

R 1 R 2 = 1 0 0 0 cos ⁡ θ 1 - s e n θ 1 0 s e n θ 1 cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 - s e n θ 1 0 s e n θ 1 cos ⁡ θ 1 0 0 0 1 ⇒

R 1 R 2 = cos ⁡ θ 2 - s e n θ 2 0 1 2 s e n θ 1 + θ 2 - s e n θ 1 - θ 2 1 2 cos ⁡ θ 1 + θ 2 + cos ⁡ θ 1 - θ 2 - s e n ( θ 1 ) 1 2 - cos ⁡ θ 1 + θ 2 + cos ⁡ θ 1 - θ 2 1 2 s e n θ 1 + θ 2 + s e n θ 1 - θ 2 c o s ⁡ ( θ 1 )

R 2 R 1 = cos ⁡ θ 1 - s e n θ 1 0 s e n θ 1 cos ⁡ θ 1 0 0 0 1 1 0 0 0 cos ⁡ θ 1 - s e n θ 1 0 s e n θ 1 cos ⁡ θ 1

R 2 R 1 = cos ⁡ θ 2 1 2 s e n θ 1 - θ 2 - s e n θ 1 + θ 2 1 2 - cos ⁡ θ 1 + θ 2 + cos ⁡ θ 1 - θ 2 s e n θ 2 1 2 cos ⁡ θ 1 + θ 2 + cos ⁡ θ 1 - θ 2 1 2 - s e n θ 1 + θ 2 - s e n θ 1 - θ 2 0 s e n θ 1 cos ⁡ θ 1

Portanto T 1 ∘ T 2 ≠ T 2 ∘ T 1

Resposta

  1. T 1 ∘ T 2 = T 2 ∘ T 1 .
  2. T 1 ∘ T 2 = T 2 ∘ T 1 .
  3. T 1 ∘ T 2 ≠ T 2 ∘ T 1 .
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