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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.9 - Ex. 7

Em cada parte, determine se T é uma transformação matricial.

a T x , y , z = 0 , 0

b   T x , y , z = 1 , 1

c T x , y , z = 3 x - 4 y , 2 x - 5 z

d T x , y , z = y 2 , x

e   T x , y , z = y - 1 , x

Passo 1

Uma transformação matricial obedece as mesmas regras de uma transformação linear, isto é, deve ser fechada para adição e pra multiplicação por escalar. Sendo assim, vamos verificar essas condições para cada caso na ordem em que são apresentados e antes de tudo, tomemos dois vetores em R 3 : x 1 , y 1 , z 1   e   x 2 , y 2 , z 2 e k um escalar, que serão usados em todos os casos. Para o primeiro caso vamos ter

T x , y , z = 0,0

i   T x 1 + x 2 , y 2 + y 2 , z 1 + z 2 = 0,0 = 0,0 + 0,0 = T x 1 , y 1 , z 1 + T x 2 , y 2 , z 2

i i   T k x , k y , k z = 0,0 = k ⋅ 0,0 = k ⋅ T x , y , z

Portanto, nossa primeira transformação é matricial. De maneira análoga podemos inferir que a transformação dada em b não será matricial pois o critério de ser fechado para a adição não será atendido pois independente do vetor que entre a saída é sempre 1,1 que não dará para separar em somas de transformações.

Passo 2

Verifiquemos agora o nosso terceiro caso, observando as duas condições dadas, então temos

i   T x 1 + x 2 , y 2 + y 2 , z 1 + z 2 = 3 x 1 + x 2 - 4 y 1 + y 2 , 2 x 1 + x 2 - 5 z 1 + z 2

→   3 x 1 - 4 y 1 , 2 x 1 - 5 z 1 + 3 x 2 - 4 y 2 , 2 x 2 - 5 z 2 = T x 1 , y 1 , z 1 + T x 2 , y 2 , z 2

i i T k x , k y , k z = 3 k x - 4 k y , 2 k x - 5 k z = k ⋅ T x , y , z

Portanto, nossa transformação é matricial. Prosseguindo com o mesmo raciocínio vamos testar o quarto caso onde teremos

i   T x 1 + x 2 , y 2 + y 2 , z 1 + z 2 = y 1 + y 2 2 , z 1 + z 2 = y 1 2 + 2 y 1 y 2 + y 2 2 , z 1 + z 2 ≠ y 1 2 + y 2 2 , z 1 + z 2

Como uma das condições não foi atendida, nossa transformação já é não matricial.

Passo 3

E finalmente vamos avaliar o nosso último caso da mesma forma que fizemos com os outros casos. Sendo assim, teremos

i   T x 1 + x 2 , y 2 + y 2 , z 1 + z 2 = y 1 + y 2 - 1 , x 1 + x 2 ≠ [ y 1 - 1 + y 2 - 1 , x 1 + x 2 )  

Portanto, nossa transformação é não matricial.

Resposta

a   e   c são transformações matriciais, enquanto b ,   d   e   e não o são.

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