Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.9 - Ex. 5
Em cada parte, encontra o domínio e o contradomínio da transformação definida pelas equações e determine se a transformação é linear.
Passo 1
A questão apesar de parecer um pouco assustadora é bastante simples tendo em vista que nosso domínio será dado pela quantidade de variáveis do lado direito da equação e o contradomínio pela quantidade de variáveis presentes do lado esquerdo da equação. Além disso, para que uma transformação seja linear devemos ter que ela não apresenta em nenhum momento algum termo elevado a alguma potência que não seja 1 e nem algum produto misto. Pois bem, com isso em mente estamos aptos para resolvermos o exercício de forma tranquila.
Passo 2
Para o primeiro caso temos três variáveis do domínio da nossa transformação que são , isto implica que nosso domínio será enquanto que nosso contradomínio será pois só temos dois vetores no outro ‘mundo’ que são . Além disso como não temos nenhuma das restrições nesse problema temos que a transformação é linear.
Passo 3
Já para o segundo caso de cara vemos um produto misto o que implica a não linearidade da nossa transformação e, analisando de forma análoga ao caso anterior vamos encontrar um domínio em por conta de apenas e um contradomínio em devido a .
Passo 4
Analisando de igual forma o terceiro caso, vamos ter um domínio em e um contradomínio em ) e como não temos nenhuma das restrições presentes temos que a transformação é linear. Por fim, no nosso último caso como temos termos ao quadrado podemos concluir de cara que se trata de uma transformação não linear, no entanto, ainda conseguimos encontrar domínio e contradomínio que são , respectivamente.