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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 11

Em cada parte, determine se os vetores dados geram R 3 .

  1. v 1 = 2 ,   2 ,   2 ,   v 2 0 ,   0 ,   3 ,   v 3 ( 0 ,   1 ,   1 ) .
  2. v 1 = 2 ,   - 1 ,   3 ,   v 2 4 ,   1 ,   2 ,   v 3 ( 8 ,   - 1 ,   8 )
  3. v 1 = 3 ,   1 ,   4 ,   v 2 2 ,   - 3 ,   5 ,   v 3 5 ,   - 2 ,   9 ,   v 4 ( 1 ,   4 ,   - 1 )
  4. v 1 = ( 1 ,   2 ,   6 ) ,   v 2 3 ,   4 ,   1 ,   v 3 4 ,   3 ,   1 ,   v 4 ( 3 ,   3 ,   1 )

Passo 1

Show de bola então pessoal, pra um conjunto de vetores gerar um espaço dado de dimensão n , então devemos ter no mínimo n vetores linearmente independentes dentro desse conjunto, como no exercício queremos saber qual conjunto gera R 3 , na verdades queremos saber quais desses conjuntos têm pelo menos 3 vetores linearmente independentes. E pra isso a gente pode montar uma matriz com os vetores do conjunto e escalonar essa matriz, se não aparecer nenhuma linha só de zeros, então os vetores são independentes e geram R 3 .

Passo 2

Na letra (a), temos o conjunto v 1 = 2 ,   2 ,   2 ,   v 2 0 ,   0 ,   3 ,   v 3 ( 0 ,   1 ,   1 ) , e montando a matriz com esses vetores, temos

2 2 2 0 0 3 0 1 1

Escalonando

2 2 2 0 0 3 0 1 1 ⇒   L 2 ⇔ L 3 = 2 2 2 0 1 1 0 0 3  

Logo, nossas 3 linhas são independentes e concomitantemente nossos vetores também são, portanto esse conjunto gera R 3 .

Passo 3

Na letra (b) temos o conjunto v 1 = 2 ,   - 1 ,   3 ,   v 2 4 ,   1 ,   2 ,   v 3 ( 8 ,   - 1 ,   8 ) , e montando a matriz com esses vetores, temos

2 - 1 3 4 1 2 8 - 1 8

Escalonando

2 - 1 3 4 1 2 8 - 1 8 ⇒   L 2 = L 2 - 2 L 3   L 3 = L 3 - 4 L 1 = 2 - 1 3 0 3 - 4 0 3 - 4 ⇒     L 3 = L 3 - L 2 = 2 - 1 3 0 3 - 4 0 0 0

Logo, temos apenas 2 vetores independentes, portanto esse conjunto não gera R 3 .

Passo 4

Na letra (c) temos o conjunto v 1 = 3 ,   1 ,   4 ,   v 2 2 ,   - 3 ,   5 ,   v 3 5 ,   - 2 ,   9 ,   v 4 ( 1 ,   4 ,   - 1 ) , e montando a matriz com esses vetores, temos

3 1 4 2 - 3 5 5 - 2 9 1 4 - 1

Escalonando

3 1 4 2 - 3 5 5 - 2 9 1 4 - 1 ⇒ L 1 ⇔ L 4           = 1 4 - 1 2 - 3 5 5 - 2 9 3 1 4 ⇒     L 2 = L 2 - 2 L 1   L 3 = L 3 - 5 L 1   L 4 = L 4 - 3 L 1 = 1 4 - 1 0 - 11 7 0 - 22 14 0 - 1 1 7 ⇒

⇒         L 3 = L 3 - 2 L 2   L 4 = L 4 - L 2 = 1 4 - 1 0 - 11 7 0 0 0 0 0 0

Logo, temos apenas 2 linhas independentes e da mesma maneira temos 2 vetores independentes, portanto esse conjunto não gera R 3 .

Passo 5

E por último na letra (d) temos o conjunto v 1 = ( 1 ,   2 ,   6 ) ,   v 2 3 ,   4 ,   1 ,   v 3 4 ,   3 ,   1 ,   v 4 ( 3 ,   3 ,   1 ) , e montando a matriz com esses vetores, temos

1 2 6 3 4 1 4 3 1 3 3 1

Escalonando

1 2 6 3 4 1 4 3 1 3 3 1 ⇒     L 2 = L 2 - 3 L 1   L 3 = L 3 - 4 L 1   L 4 = L 4 - 3 L 1     = 1 2 6 0 - 2 - 1 7 0 - 5 - 23 0 - 3 - 1 7 ⇒     L 2 = L 2 - 2 L 1   L 3 = L 3 - 5 L 1   L 4 = L 4 - 3 L 1 = 1 4 - 1 0 - 11 10 0 - 22 14 0 - 11 7

Logo, temos 3 linhas independentes e da mesma maneira temos 3 vetores independentes, portanto esse conjunto gera R 3 .

Resposta

  1. G e r a .
  2. N ã o   g e r a .
  3. N ã o   g e r a .
  4. G e r a .
Ver Outros Exercícios desse livro

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d. ( x , y , z ) , tais que z = 0 e x y ≥ 0 ;
c. ( x , y , z ) , tais que z ≥ 0
1.2.3 Verifique se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. a. O conjunto das funções f em C 0 [ - 1,1 ] tais que f - 1 = f ( 1 ) .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Considere os seguintes subespaços de R 3 : V = [ ( - 1 ,2 ,3 ) , ( 1 ,3 ,4 ) ] e W =[ ( 1 ,2 ,- 1 ) , ( 0 ,1 ,1 ) ] . Encontre a equação paramétrica da reta V ∩ W . A notação V 1 , V 2 significa o sub