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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 10

Em cada parte, expresse o vetor como uma combinação linear de p 1 = 2 + x + 4 x 2 , p 2 = 1 - x + 3 x 2 e p 3 = 3 + 2 x + 5 x 2 ?

  1. - 9 - 7 x - 15 x 2
  2. 6 + 11 + 6 x 2
  3. 0
  4. 7 + 8 x + 9 x 2

Passo 1

Show de bola então pessoal, pra começar, sabemos que para um polinômio P ser combinação linear de outros três polinômios p 1 , p 2 e p 3 , então

P = a p 1 + b p 2 + c p 3

Então precisamos primeiro passar os polinômios para forma vetorial e depois encontrar a ,   b   e   c pra podermos expressar o polinômio. Então bora fazer isso pra cada polinômio.

Passo 2

Na letra (a), temos o polinômio - 9 - 7 x - 15 x 2 , e sua forma vetorial é ( - 9 ,   - 7 ,   - 15 ) , e as bases p 1 = 2 + x + 4 x 2 , p 2 = 1 - x + 3 x 2 e p 3 = 3 + 2 x + 5 x 2 , são respectivamente ( 2 ,   1 ,   4 ) , ( 1 ,   - 1 ,   3 ) e ( 3 ,   2 ,   5 ) logo

- 9 ,   - 7 ,   - 15 = a 2 ,   1 ,   4 + b 1 ,   - 1 ,   3 + c ( 3 ,   2 ,   5 ) ⇒ 2 a + b + 3 c = - 9 a - b + 2 c = - 7 4 a + 3 b + 5 c = - 15 ⇒

Na forma matricial

2 a + b + 3 c = - 9 a - b + 2 c = - 7 4 a + 3 b + 5 c = - 15 ⇒ 2 1 3 1 - 1 2 4 3 5 - 9 - 7 - 15 ⇒   L 1 ⇔ L 2 L 2 ⇔ L 1   = 1 - 1 2 2 1 3 4 3 5 - 7 - 9 - 15 ⇒

⇒     L 2 = L 2 - 2 L 1   L 3 = L 3 - 4 L 1 = 1 - 1 2 0 3 - 1 0 7 - 3 - 7 5 13 ⇒         L 3 = L 3 - 3 L 2 = 1 - 1 2 0 3 - 1 0 - 2 0 - 7 5 - 2 ⇒

⇒         L 3 = - 1 2 L 3 = 1 - 1 2 0 3 - 1 0 1 0 - 7 5 1 ⇒     L 2 = L 2 - 3 L 3       = 1 - 1 2 0 0 - 1 0 1 0 - 7 2 1 ⇒

⇒     L 2 ⇔ L 3     L 3 ⇔ L 2   = 1 - 1 2 0 1 0 0 0 - 1 - 7 1 2

Logo b = 1 e c = - 2 , então da primeira linha tiramos

a - b + 2 c = - 7 ⇒ a - 1 + 2 - 2 = - 7 ⇒ a = - 7 + 1 + 4 = - 2

Portanto

- 9 ,   - 7 ,   - 15 = - 2 2 ,   1 ,   4 + 1 ,   - 1 ,   3 - 2 ( 3 ,   2 ,   5 )

- 9 - 7 x - 15 x 2 = - 2 2 + x + 4 x 2 + 1 - x + 3 x 2 - 2 ( 3 + 2 x + 5 x 2 )

Passo 3

Na letra (b) temos o polinômio 6 + 11 x + 6 x 2 e na forma vetorial, ( 6 ,   11 ,   6 ) , logo

( 6 ,   11 ,   6 ) = a 2 ,   1 ,   4 + b 1 ,   - 1 ,   3 + c ( 3 ,   2 ,   5 ) ⇒ 2 a + b + 3 c = - 9 a - b + 2 c = - 7 4 a + 3 b + 5 c = - 15 ⇒

Na forma matricial

2 a + b + 3 c = - 9 a - b + 2 c = - 7 4 a + 3 b + 5 c = - 15 ⇒ 2 1 3 1 - 1 2 4 3 5 6 11 6 ⇒   L 2 = L 2 - 1 2 L 1 L 3 = L 3 - 2 L 1   = 2 1 3 0 - 3 2 1 2 0 1 - 1 6 8 - 6 ⇒

⇒         L 3 = L 3 + 2 3 L 2 = 2 1 3 0 - 3 2 1 2 0 0 - 2 3 6 8 - 2 3

Logo c = 1 , então da segunda linha tiramos

- 3 2 b + 1 2 c = 8 ⇒ - 3 2 b + 1 2 1 = 8 ⇒ b = - 2 3 8 - 1 2 = - 5

E da primeira linha obtemos

2 a + b + 3 c = 6 ⇒ 2 a - 5 + 3 1 = 6 ⇒ a = 4

Portanto

6 ,   11 ,   6 = 4 2 ,   1 ,   4 - 5 1 ,   - 1 ,   3 + ( 3 ,   2 ,   5 )

6 + 11 x + 6 x 2 = 4 2 + x + 4 x 2 - 5 1 - x + 3 x 2 + ( 3 + 2 x + 5 x 2 )

Passo 4

Na letra (c), o polinômio é 0 , e sua representação vetorial é 0 ,   0 ,   0 , logo

0 ,   0 ,   0 = a 2 ,   1 ,   4 + b 1 ,   - 1 ,   3 + c ( 3 ,   2 ,   5 ) ⇒ 2 a + b + 3 c = 0 a - b + 2 c = 0 4 a + 3 b + 5 c = 0 ⇒

Na forma matricial

2 a + b + 3 c = 0 a - b + 2 c = 0 4 a + 3 b + 5 c = 0 ⇒ 2 1 3 1 - 1 2 4 3 5 0 0 0 ⇒   L 1 ⇔ L 2 L 2 ⇔ L 1   = 1 - 1 2 2 1 3 4 3 5 0 0 0 ⇒

⇒     L 2 = L 2 - 2 L 1   L 3 = L 3 - 4 L 1 = 1 - 1 2 0 3 - 1 0 7 - 3 0 0 0 ⇒         L 3 = L 3 - 3 L 2 = 1 - 1 2 0 3 - 1 0 - 2 0 0 0 0 ⇒

⇒         L 3 = - 1 2 L 3 = 1 - 1 2 0 3 - 1 0 1 0 0 0 0 ⇒     L 2 = L 2 - 3 L 3       = 1 - 1 2 0 0 - 1 0 1 0 0 0 0 ⇒

⇒     L 2 ⇔ L 3     L 3 ⇔ L 2   = 1 - 1 2 0 1 0 0 0 - 1 0 0 0

Logo b = 0 e c = 0 , então da primeira linha tiramos

a - b + 2 c = 6 ⇒ a - 0 + 2 0 = 0 ⇒ a = 0 + 0 + 0 = 0

Portanto

0 ,   0 ,   0 = 0 2 ,   1 ,   4 + 0 1 ,   - 1 ,   3 + 0 ( 3 ,   2 ,   5 )

0 = 0 2 + x + 4 x 2 + 0 1 - x + 3 x 2 + 0 ( 3 + 2 x + 5 x 2 )

Passo 5

E por último para o polinômio 7 + 8 x + 9 x 2 temos o vetor ( 7 ,   8 ,   9 ) , logo

( 7 ,   8 ,   9 ) = a 2 ,   1 ,   4 + b 1 ,   - 1 ,   3 + c ( 3 ,   2 ,   5 ) ⇒ 2 a + b + 3 c = 7 a - b + 2 c = 8 4 a + 3 b + 5 c = 9 ⇒

Na forma matricial

⇒ 2 a + b + 3 c = - 9 a - b + 2 c = - 7 4 a + 3 b + 5 c = - 15 ⇒ 2 1 3 1 - 1 2 4 3 5 7 8 9 ⇒   L 2 = L 2 - 1 2 L 1 L 3 = L 3 - 2 L 1   = 2 1 3 0 - 3 2 1 2 0 1 - 1 7 9 2 - 5 ⇒

⇒         L 3 = L 3 + 2 3 L 2 = 2 1 3 0 - 3 2 1 2 0 0 - 2 3 7 9 2 - 2

Logo c = 3 , então da segunda linha tiramos

- 3 2 b + 1 2 c = 9 2 ⇒ - 3 b + 3 = 9 ⇒ b = - 2

E da primeira linha obtemos

2 a + b + 3 c = 7 ⇒ 2 a - 2 + 3 3 = 7 ⇒ a = 0

Portanto

7 ,   8 ,   9 = 0 2 ,   1 ,   4 - 2 1 ,   - 1 ,   3 + 3 ( 3 ,   2 ,   5 )

7 + 8 x + 9 x 2 = 0 2 + x + 4 x 2 - 2 1 ± x + 3 x 2 + 3 ( 3 + 2 x + 5 x 2 )

Resposta

  1. - 9 - 7 x - 15 x 2 = - 2 2 + x + 4 x 2 + 1 - x + 3 x 2 - 2 ( 3 + 2 x + 5 x 2 ) .
  2. 6 + 11 x + 6 x 2 = 4 2 + x + 4 x 2 - 5 1 - x + 3 x 2 + ( 3 + 2 x + 5 x 2 ) .
  3. 0 = 0 2 + x + 4 x 2 + 0 1 - x + 3 x 2 + 0 ( 3 + 2 x + 5 x 2 ) .
  4. 7 + 8 x + 9 x 2 = 0 2 + x + 4 x 2 - 2 1 ± x + 3 x 2 + 3 ( 3 + 2 x + 5 x 2 ) .
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