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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 12

Sejam v 1 = 2 ,   1 ,   0 ,   3 ,   v 2 = 3 ,   - 1 ,   5 ,   2   e   v 3 = ( - 1 ,   0 ,   2 ,   1 ) . Em cada parte decida se o vetor está em g e r { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } .

  1. ( 2 ,   3 ,   - 7 ,   3 ) .
  2. ( 0 ,   0 ,   0 ,   0 )
  3. ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 )
  4. ( - 4 ,   6 ,   - 13 ,   4 )

Passo 1

Show de bola então pessoal, pra um vetor v → estar em g e r { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } , isto é, estar no espaço gerado por { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } , quer dizer que ele pode ser escrito como combinação linear desses vetores

v → = a v 1 + b v 2 + c v 3

Então só precisamos encontrar a ,   b   e   c , se isso for possível, então nosso vetor pertence a esse espaço gerado.

Passo 2

Na letra (a), temos o vetor ( 2 ,   3 ,   - 7 ,   3 ) , então

2 ,   3 ,   - 7 ,   3 = a 2 ,   1 ,   0 ,   3 + b 3 ,   - 1 ,   5 ,   2 + c - 1 ,   0 ,   2 ,   1 ⇒ 2 a + 3 b - c = 2 a - b + 0 c = 3 0 a + 5 b + 2 c = - 7 3 a + 2 b + c = 3

Passando pra representação matricial

2 a + 3 b - c = 2 a - b + 0 c = 3 0 a + 5 b + 2 c = - 7 3 a + 2 b + c = 3 = 2 3 - 1 1 - 1 0 0 5 2 3 2 1 a b c = 2 3 - 7 3 ⇒ 2 3 - 1 1 - 1 0 0 5 2 3 2 1 2 3 - 7 3

E agora pra gente encontrar a ,   b   e   c , precisamos escalonar a matriz, então bora lá

2 3 - 1 1 - 1 0 0 5 2 3 2 1 2 3 - 7 3 ⇒   L 2 = L 2 - 1 2 L 1   L 4 = L 4 - 3 2 L 1 = 2 3 - 1 0 - 5 2 1 2 0 5 2 0 - 5 2 5 2 2 2 - 7 0 ⇒

⇒       L 3 = L 3 + 2 L 2 L 4 = L 4 - L 2 = 2 3 - 1 0 - 5 2 1 2 0 0 3 0 0 2 2 2 - 3 - 2 ⇒         L 4 = L 4 - 2 3 L 3 = 2 3 - 1 0 - 5 2 1 2 0 0 3 0 0 0 2 2 - 3 0

Logo, da nossa linha 3, temos que 3 c = - 3 , c = - 1 . E na linha 2

- 5 2 b + 1 2 c = 2 ⇒ - 5 2 b - 1 2 = 2 ⇒ b = - 1

E da primeira linha tiramos que

2 a + 3 b - c = 2 ⇒ 2 a - 3 + 1 = 2 ⇒ a = 2

Portanto existe a ,   b ,   e   c tal que v → = a v 1 + b v 2 + c v 3 , logo nosso vetor ( 2 ,   3 ,   - 7 ,   3 ) está em g e r v 1 ,   v 2 ,   v 3 .

Passo 3

Na letra (b), temos o vetor ( 0 ,   0 ,   0 ,   0 ) , então

( 0 ,   0 ,   0 ,   0 ) = a 2 ,   1 ,   0 ,   3 + b 3 ,   - 1 ,   5 ,   2 + c - 1 ,   0 ,   2 ,   1 ⇒ 2 a + 3 b - c = 0 a - b + 0 c = 0 0 a + 5 b + 2 c = 0 3 a + 2 b + c = 0

Passando pra representação matricial

2 a + 3 b - c = 0 a - b + 0 c = 0 0 a + 5 b + 2 c = 0 3 a + 2 b + c = 0 = 2 3 - 1 1 - 1 0 0 5 2 3 2 1 a b c = 2 3 - 7 3 ⇒ 2 3 - 1 1 - 1 0 0 5 2 3 2 1 0 0 0 0

E agora pra gente encontrar a ,   b   e   c , precisamos escalonar a matriz, então bora lá

2 3 - 1 1 - 1 0 0 5 2 3 2 1 0 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 - 1 2 L 1   L 4 = L 4 - 3 2 L 1 = 2 3 - 1 0 - 5 2 1 2 0 5 2 0 - 5 2 5 2 0 0 0 0 ⇒

⇒       L 3 = L 3 + 2 L 2 L 4 = L 4 - L 2 = 2 3 - 1 0 - 5 2 1 2 0 0 3 0 0 2 0 0 0 0 ⇒         L 4 = L 4 - 2 3 L 3 = 2 3 - 1 0 - 5 2 1 2 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0

Logo, da nossa linha 3, temos que 3 c = 0 , c = 0 . E na linha 2

- 5 2 b + 1 2 c = 2 ⇒ - 5 2 b + 0 = 0 ⇒ b = 0

E da primeira linha tiramos que

2 a + 3 b - c = 2 ⇒ 2 a + 0 - 0 = 0 ⇒ a = 0

Portanto existe a ,   b ,   e   c tal que v → = a v 1 + b v 2 + c v 3 , logo nosso vetor ( 0 ,   0 ,   0 ,   0 ) está em g e r v 1 ,   v 2 ,   v 3 .

Passo 4

Na letra (c) temos o vetor ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 ) , então

( 1 ,   1 ,   1 ,   1 ) = a 2 ,   1 ,   0 ,   3 + b 3 ,   - 1 ,   5 ,   2 + c - 1 ,   0 ,   2 ,   1 ⇒ 2 a + 3 b - c = 1 a - b + 0 c = 1 0 a + 5 b + 2 c = 1 3 a + 2 b + c = 1

Passando pra representação matricial

2 a + 3 b - c = 1 a - b + 0 c = 1 0 a + 5 b + 2 c = 1 3 a + 2 b + c = 1 = 2 3 - 1 1 - 1 0 0 5 2 3 2 1 a b c = 1 1 1 1 ⇒ 2 3 - 1 1 - 1 0 0 5 2 3 2 1 1 1 1 1

E agora pra gente encontrar a ,   b   e   c , precisamos escalonar a matriz, então bora lá

2 3 - 1 1 - 1 0 0 5 2 3 2 1 1 1 1 1 ⇒   L 2 = L 2 - 1 2 L 1   L 4 = L 4 - 3 2 L 1 = 2 3 - 1 0 - 5 2 1 2 0 5 2 0 - 5 2 5 2 1 1 2 1 - 1 2 ⇒

⇒       L 3 = L 3 + 2 L 2 L 4 = L 4 - L 2 = 2 3 - 1 0 - 5 2 1 2 0 0 3 0 0 2 1 1 2 2 - 1 ⇒         L 4 = L 4 - 2 3 L 3 = 2 3 - 1 0 - 5 2 1 2 0 0 3 0 0 0 2 2 - 3 - 7 3

E olha aquela nossa última linha ali, ela tá falando pra gente que

0 a + 0 b + 0 c = - 7 3   o u   0 + 0 + 0 = - 7 3

O que é impossível né não!! Então isso quer dizer que nosso vetor ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 ) não está em g e r v 1 ,   v 2 ,   v 3 .

Passo 5

E por último na letra (d) temos o vetor ( - 4 ,   6 ,   - 13 ,   4 ) , então

( - 4 ,   6 ,   - 13 ,   4 ) = a 2 ,   1 ,   0 ,   3 + b 3 ,   - 1 ,   5 ,   2 + c - 1 ,   0 ,   2 ,   1 ⇒ 2 a + 3 b - c = - 4 a - b + 0 c = 6 0 a + 5 b + 2 c = - 13 3 a + 2 b + c = 4

Passando pra representação matricial

2 a + 3 b - c = - 4 a - b + 0 c = 6 0 a + 5 b + 2 c = - 13 3 a + 2 b + c = 4 = 2 3 - 1 1 - 1 0 0 5 2 3 2 1 a b c = - 4 6 - 13 4 ⇒ 2 3 - 1 1 - 1 0 0 5 2 3 2 1 - 4 6 - 13 4

E agora pra gente encontrar a ,   b   e   c , precisamos escalonar a matriz, então bora lá

2 3 - 1 1 - 1 0 0 5 2 3 2 1 - 4 6 - 13 4 ⇒   L 2 = L 2 - 1 2 L 1   L 4 = L 4 - 3 2 L 1 = 2 3 - 1 0 - 5 2 1 2 0 5 2 0 - 5 2 5 2 - 4 8 - 13 10 ⇒

⇒       L 3 = L 3 + 2 L 2 L 4 = L 4 - L 2 = 2 3 - 1 0 - 5 2 1 2 0 0 3 0 0 2 - 4 8 3 2 ⇒         L 4 = L 4 - 2 3 L 3 = 2 3 - 1 0 - 5 2 1 2 0 0 3 0 0 0 - 4 8 3 0

Logo, da nossa linha 3, temos que 3 c = 3 , c = 1 . E na linha 2

- 5 2 b + 1 2 c = 8 ⇒ - 5 2 b + 1 2 = 8 ⇒ b = - 3

E da primeira linha tiramos que

2 a + 3 b - c = 2 ⇒ 2 a - 9 - 1 = 2 ⇒ a = 6

Portanto existe a ,   b ,   e   c tal que v → = a v 1 + b v 2 + c v 3 , logo nosso vetor ( - 4 ,   6 ,   - 13 ,   4 ) está em g e r v 1 ,   v 2 ,   v 3 .

Resposta

  1. Está em g e r v 1 ,   v 2 ,   v 3 .
  2. Está em g e r v 1 ,   v 2 ,   v 3 .
  3. Não está em g e r v 1 ,   v 2 ,   v 3 .
  4. Está em g e r v 1 ,   v 2 ,   v 3 .
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d. O conjunto de todas as funções f em C 0 [ - 1,1 ] tais que f - 1 = 0 e f 1 = 0 .
g. ( x , y , z ) , tais que y = 2 x + 1 ;
Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de R ³ ³?a. ( x , y , z ) ; tais que z = x ³ ³.
d. ( x , y , z , w ) , tais que x = 0 e y = - w ;
e. ( x , y , z ) , tais que x = z = 0 ;