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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 39

Prove a parte (e) fo Teorema 3.5.1. [Sugestão: aplique a parte (a) do Teorema 3.5.2 ao resultado da parte (d) do Teorema 3.5.1]

Passo 1

Nessa questão precisamos provar u × v × w = v ∙ w v - u ∙ w u  

Ao invés de abrirmos as matrizes e fazermos toneladas de contas, vamos manipular as propriedades do produto vetorial.

Passo 2

Vamos começar com u × v × w

u × v × w = - 1 w × u × v

Passo 3

Agora, vamos desenvolver w × u × v

w × u × v = w ∙ v u - w ∙ u v  

Passo 4

Por fim vamos substituir w × u × v = w ∙ v u - w ∙ u v na equação do Passo 2

u × v × w = - 1 w × u × v

u × v × w = - 1 w ∙ v u - w ∙ u v  

u × v × w = w ∙ u v - w ∙ v u

Resposta

u × v × w = w ∙ u v - w ∙ v u

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Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores: j → × 2 i → 3 i → × 2 k →
Calcular a área do triângulo de vérticesA (- 1 , 0 , 2) , B = (- 4 , 1 , 1) e C ( 0 , 1 , 3 )
Calcular x , sabendo que A ( x ,1 ,1 ) , B ( 1 ,- 1 ,0 ) e C ( 2 ,1 , - 1 ) são vértices de um triângulo de área 29 2 .
Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores v 1 → = ( 1 ,1 ,0 ) e v 2 → = ( 2 ,- 1 ,3 ) . Nas mesmas condições determinar um vetor de módulo 5.
Determinar v → tal que v → seja ortogonal ao eixo y e u → = v → × w → , sendo u → = ( 1 ,1 , - 1 ) e w → = ( 2 ,1 ,1 ) .