Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 4
Em cada parte, encontre uma operação com linhas e a matriz elementar correspondente que retorna a matriz elementar dada à matriz identidade
Passo 1
Então galerinha, nesse caso aqui a gente tá afim de encontrar a operação elementar que faz com que nossa matriz se torne a identidade ok?! E quem que é essas operações elementares?! São:
- Multiplicar uma linha inteira por um constante não nula.
- Trocar duas linhas entre si.
- Somar uma linha a outra linha quantas vezes necessárias.
Iradoso, mas é só isso que nois precisa encontrar?! NÃOOO!! A gente também quer encontrar a matriz que realiza a operação do tipo:
Ou seja, nossa matriz é a matriz do exercício, e a matriz é a matriz que leva na identidade e é ela quem queremos encontrar. #Partiu
Passo 2
Nossa letra (a) tem a matriz:
Pra transformar essa matriz ai na matriz identidade, a gente precisa tirar aquele da primeira linha. Pra isso a gente pode somar a linha 2 com mais 3 vezes a linha 1 que fica tudo uma maravilha. Desse jeito:
Logo nossa equação que faz a matriz A se tornar a identidade é:
Agora pra encontrarmos nossa matriz a gente só precisa montar seus elementos de acordo com a operação elementar que a gente fez:
E a gente pode fazer esse processo direto, apenas observando a equação ligada a operação, perceba que nossa equação soma a segunda linha com a primeira linha 3 vezes, e isso acontece apenas na primeira linha, logo nossa matriz vai ter uma disposição tal que realize essa operação.
Passo 3
Nossa letra (b) traz a matriz:
Nessa aqui, a gente só precisa dividir a terceira linha por que fica show de bola. Então nossa equação é:
Belezinha, como nossa operação é essa que acabamos de encontrar, a matriz que satisfaz a igualdade , é:
Passo 4
Agora na nossa letra (c) a matriz que a gente tem é essa aqui:
E pra gente transformar ela na identidade, é só trocar a linha 4 com a linha 1
Mas a gente sabe que quando nossa operação elementar é uma troca de linhas, a matriz que representa essa operação, é a mesma matriz original onde realizamos a troca, ou seja:
Passo 5
Agora chegamos na digníssima letra (d) e nossa matriz é:
E nessa aqui, a gente só precisa zerar aquele termo , e como ele tá na terceira coluna, a gente pode usar a terceira linha pra realizar essa operação
Logo nossa matriz será
Show de bolinhas?!
Resposta
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