Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 2

Em cada parte, decida se a matriz é elementar.

Passo 1

Da mesma forma que o exercício anterior, pra sabermos se essas matrizes são elementares ou não, temos que ver se com apenas uma operação elementar nós conseguimos chegar na matriz identidade. E nossas operações elementares são:

Multiplicar uma linha inteira por um constante não nula.
Trocar duas linhas entre si.
Somar uma linha a outra linha quantas vezes necessárias.

Show de bola, então se essas são as operações elementares, eu só preciso saber se aplicando somente um delas eu consigo chegar na matriz identidade, se der certo então sim, nossa matriz é elementar. Sacou?! Então bora lá.

Passo 2

Na letra (a), temos a matriz:

Aqui pessoal, se eu multiplicar a Linha 2 por , , vamos obter a matriz identidade:

Logo ela é uma matriz elementar.

Passo 3

Na letra (b), temos a matriz:

Ela é bem parecida com a matriz identidade né?! AH NÃO SER QUE a Linha 1 tá no lugar da Linha 3 né não, então como a gente é malandro, vamo trocar com .

E como trocar uma linha com outro é uma operação elementar, e usamos ela apenas uma vez, nossa matriz é elementar.

Passo 4

Já na nossa letra (c), temos a matriz:

Nessa aqui estamos quase lá, falta só um detalhe na nossa matriz pra ela se tornar a identidade. Se conseguirmos tirar aquele 9 na Linha 2 e colocarmos um 0, usando apenas uma operação elementar ai então ia ficar tudo bonito. Então cola aqui cmg, se a gente pegar a Linha 2 e subtrair nove vezes a Linha 3, , eu consigo zera meu elemento e ainda não mexo em mais nada né? Fica mais ou menos assim ó:

Logo usamos apenas uma operação elementar e conseguimos chegar na identidade, dessa forma nossa matriz também é uma matriz elementar.

Passo 5

Finalmente chegamos no chefão do exercício, nossa matriz da letra (d) é:

Show de Bolinhas, então agora a gente só precisa transformar essa matriz aí na identidade que fica tudo xuxu beleza. Pra isso a gente pode primeiro trocar as linhas 2 e 3 e depois multiplicar a linha 1 por (-1). Desse jeito ó:

Mas pra chegarmos na matriz identidade nós precisamos de duas operações, primeiro trocamos com a e depois multiplicamos a por -1. Logo se precisamos de mais de uma operação, não ficou xuxu beleza e infelizmente nossa matriz não vai tá sendo elementar.