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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 9a

Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de v em relação à base S   =   { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } .

(a) v = ( 2 ,   - 1 ,   3 ) ;   v 1 =   ( 1 ,   0 ,   0 ) ,   v 2 = ( 2 ,   2 ,   0 ) ,   v 3 =   ( 3 ,   3 ,   3 )

Passo 1

Vamos lá! Essa é relativamente tranquila, só precisamos ter um cuidado pra não nos descuidarmos.

Sendo v = ( 2 ,   - 1 ,   3 ) , vamos escrever ele como uma combinação de v 1 ,   v 2 ,   v 3 .

v = a ⋅ v 1 + b ⋅ v 2 + c ⋅ v 3

( 2 ,   - 1 ,   3 ) = a ⋅ ( 1 ,   0 ,   0 ) + b ⋅ ( 2 ,   2 ,   0 ) + c ⋅ ( 3 ,   3 ,   3 )

a = 3 ,   b = - 2 ,   c = 1

3 ⋅ 1 ,   0 ,   0 + ( - 2 ) ⋅ ( 2 ,   2 ,   0 ) + 1 ⋅ ( 3 ,   3 ,   3 ) = ( 3 - 4 + 3 ,   0 - 4 + 3 ,   0 + 0 + 3 )

3 - 4 + 3 ,   0 - 4 + 3 ,   0 + 0 + 3 = ( 2 ,   - 1 ,   3 )

Logo nosso vetor é: ( 3 ,   - 2 ,   1 )

Resposta

( 3 ,   - 2 ,   1 )

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Prove as partes (a) e (b) do Teorema 3.2.1.
Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo θ entre u e v . (a) u = 2 ,3 ,v = ( 5 ,- 7 ) (b) u = - 6 , -2 ,v = ( 4 ,0 ) (c) u = 1 , - 5 ,4 ,v = ( 3 ,3 ,3 ) (d) u = - 2 , 2 ,3 ,v = ( 1 ,7 ,- 4 )
18. Determine se a expressão faz sentido matemático. Se não fizer, explique. (a) | | u | | · | | v | | (b) u · v - w (c) u · v - k (d) k ⋅ u
Se ‖ v ‖ = 2 e w = 3 , quais são os maiores e menores valores possíveis de ‖ v - w ‖ ? Interprete seu resultado geometricamente.
Em cada parte, encontre um vetor unitário de mesma direção e sentido oposto ao do vetor. (a) ( - 12 ,- 5 ) (b) ( 3 ,- 3 ,- 3 ) (c) - 6 ,8 (d) ( - 3 ,1 ,6 , 3 )