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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 12

mostre que { A 1 ,   A 2 ,   A 3 ,   A 4 } é uma base de M 22 e expresse A como uma combinação linear dos vetores da base.

A = 6 2 5 3 , A 1 = 1 0 1 0 , A 2 = 1 1 0 0 , A 3 = 1 0 0 1 , A 4 = 0 0 1 0

Passo 1

Primeiro precisamos provar que nosso conjunto é base, pra isso precisamos provar que ele é L.I e gera todo o nosso M 22 .

Para ser L.I. temos que:

a ⋅ 1 0 1 0 +   b ⋅ 1 1 0 0 + c ⋅ 1 0 0 1 + d ⋅ 0 0 1 0 =   0 0 0 0

c = 0 , b = 0 = a = 0 , d = 0 .

Como nosso sistema só aceita a solução trivial logo ele é L.I

Passo 2

Agora temos que verificar se uma matriz k l m n é combinação linear dos nossos vetores, assim temos:

a ⋅ 1 0 1 0 +   b ⋅ 1 1 0 0 + c ⋅ 1 0 0 1 + d ⋅ 0 0 1 0 =   k l m n

Que gera um sistema de equações:

a + b + c = k b = l a + d = m c = n

b = l ,   c = n ,   a = k - l - n ,   d = m - k + l + n .

k - l - n ⋅ 1 0 1 0 +   l ⋅ 1 1 0 0 + n ⋅ 1 0 0 1 + m - k + l + n ⋅ 0 0 1 0 →   k l m n

Logo nosso conjunto gera todo M 22 , assim o conjunto de vetores é base de M 22 .

Passo 3

Vamos lá! Agora precisamos fazer uma combinação linear entre nossos vetores para encontra nossa matriz A .

Fazendo a combinação linear entre os vetores temos:

a ⋅ 1 0 1 0 +   b ⋅ 1 1 0 0 + c ⋅ 1 0 0 1 + d ⋅ 0 0 1 0 =   6 2 5 3

Vamos fazer a = 1 ,   b = 2 ,   c = 3 ,   d = 4

1 ⋅ 1 0 1 0 +   2 ⋅ 1 1 0 0 + 3 ⋅ 1 0 0 1 + 4 ⋅ 0 0 1 0 =   1 + 2 + 3 2 1 + 4 3 = 6 2 5 3

Logo nossos coeficientes são:

a = 1 ,   b = 2 ,   c = 3 ,   d = 4 ,   ( 1 ,   2 ,   3 ,   4 )

Isso é tudo pessoal! Até a próxima!

Resposta

( 1 ,   2 ,   3 ,   4 )

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