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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 29

Prove as partes (a) e (b) do Teorema 3.2.1.

Passo 1

Fala aê! Tudo certo? Nesta questão precisamos verificar as partes (a) e (b) do Teorema 3.2.1, na página 131. Então vamos lá?!

Para (a) e (b) devemos saber que ‖v‖ = sqrt(v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2)

Na parte (a) temos que ‖ v ‖ >= 0 :

Se v_i^2 >= 0 , para todo i = 1 , ... , n ,

Então v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2 >= 0 -> sqrt(v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2) >= 0

Com isto, prova-se que ‖ v ‖ >= 0

Passo 2

Na parte (b) temos que ‖v‖ = 0 se, e só se, v = 0 :

Sabendo que se ‖v‖ = 0 , então temos 0 = sqrt(v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2) e v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2 = 0 .

Desde que v_i^2 >= 0 , para todo i = 1 , ... , n . Temos:

v_1^2 = v_2^2 = ... = v_n^2 = 0 -> v_1 = v_2 = ... = v_n = 0

Logo, v = 0

Resposta

Veja a resolução completa.

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Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de v em relação à base S={ v 1 ,v 2 ,v 3 } .(b) v = ( 5 ,- 12 ,3 ) ;v 1 =( 1 ,2 ,3 ) ,v 2 = ( - 4 ,5 ,6 ) ,v 3 =( 7 ,- 8 ,9 )
Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de w em relação à base S={ u 1 ,u 2 } .(b) u 1 = 1 ,- 1 ;u 2 =1 ,1 ,w = 0 ,1 .
Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de v em relação à base S={ v 1 ,v 2 ,v 3 } .(a) v = ( 2 ,- 1 ,3 ) ;v 1 =( 1 ,0 ,0 ) ,v 2 = ( 2 ,2 ,0 ) ,v 3 =( 3 ,3 ,3 )
mostre que { A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 } é uma base de M 22 e expresse A como uma combinação linear dos vetores da base. A = 6 2 5 3 , A 1 = 1 0 1 0 , A 2 = 1 1 0 0 , A 3 = 1 0 0 1 , A 4 = 0 0 1 0
Em cada parte, encontre a medida em radianos do ângulo θ (com0 ≤ θ ≤ π ) entre u e v .(a) 1 ,- 7e( 21 ,3 ) (b) 0 ,2e( 3 , - 3 ) (c) - 1 ,1 ,0e( 0 , - 1 ,1 ) (d) 1 , - 1 ,0e( 1 ,0 ,0 )