Prove as partes (a) e (b) do Teorema 3.2.1.

Passo 1

Fala aê! Tudo certo? Nesta questão precisamos verificar as partes (a) e (b) do Teorema 3.2.1, na página 131. Então vamos lá?!

Para (a) e (b) devemos saber que ‖v‖ = sqrt(v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2)

Na parte (a) temos que ‖ v ‖ >= 0 :

Se v_i^2 >= 0 , para todo i = 1 , ... , n ,

Então v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2 >= 0 -> sqrt(v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2) >= 0

Com isto, prova-se que ‖ v ‖ >= 0

Passo 2

Na parte (b) temos que ‖v‖ = 0 se, e só se, v = 0 :

Sabendo que se ‖v‖ = 0 , então temos 0 = sqrt(v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2) e v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2 = 0 .

Desde que v_i^2 >= 0 , para todo i = 1 , ... , n . Temos:

v_1^2 = v_2^2 = ... = v_n^2 = 0 -> v_1 = v_2 = ... = v_n = 0

Logo, v = 0

Resposta

Veja a resolução completa.

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