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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 2

Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de v em relação à base S = v 1 ,   v 2 ,   v 3 de R 3 .

a) v = 2 ,   - 1 ,   3 ,             v 1 = 1 ,   0 ,   0 ,             v 2 = 2 ,   2 ,   0               e             v 3 = 3 ,   3 ,   3

b) v = 5 ,   - 12 ,   3 ;             v 1 = 1 ,   2 ,   3 ,             v 2 = - 4 ,   5 ,   6             e             v 3 = 7 ,   - 8 ,   9

Passo 1

Fala galera, bora resolver mais um problema de mudança de base! O exercício quer que escrevamos as coordenadas do vetor v na base S = v 1 ,   v 2 ,   v 3 . Para isso, usamos a relação

v S = P c a n → S   v c a n

Assim, nosso objetivo principal é achar a matriz de mudança da base canônica (base antiga) para a base S (base nova).

Vamos olhar primeiro para o item (a). A matriz P S → c a n é a construída da seguinte forma: pegamos os vetores de S e os colocamos nas colunas da matriz:

P S → c a n = 1 2 3 0 2 3 0 0 3

Mas essa não é a matriz que queremos. Precisamos inverter ela!

Passo 2

Para inverter a matriz, usamos o método da equação (14):

1 2 3 0 2 3 0 0 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Vamos fazer operações de linhas para transformar a matriz do lado esquerdo na identidade! O primeiro passo é multiplicar a terceira linha por ( - 1 ) e soma com a segunda:

1 2 3 0 2 0 0 0 3 1 0 0 0 1 - 1 0 0 1

Em seguida, fazemos a mesma coisa e somamos com a primeira linha:

1 2 0 0 2 0 0 0 3 1 0 - 1 0 1 - 1 0 0 1

Agora, multiplicamos a segunda linha por ( - 1 ) e somamos com a primeira:

1 0 0 0 2 0 0 0 3 1 - 1 0 0 1 - 1 0 0 1

Por fim, dividimos a segunda linha por 2 e a terceira por 3 :

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 - 1 0 0 1 / 2 - 1 / 2 0 0 1 / 3

Assim, achamos

P c a n → S = 1 - 1 0 0 1 2 - 1 2 0 0 1 3

Como

v c a n = 2 - 1 3 ,

temos que

v S = 1 - 1 0 0 1 2 - 1 2 0 0 1 3   2 - 1 3

Fazendo o produto de matrizes, achamos

v S = 3 - 2 1

Assim, na base S , o vetor v é escrito como

v = 3 ,   - 2 ,   1 S

Passo 3

Agora vamos para o item (b). Como v 1 = 1 ,   2 ,   3 ,             v 2 = - 4 ,   5 ,   6             e             v 3 = 7 ,   - 8 ,   9 , escrevemos primeiro

P S → c a n = 1 - 4 7 2 5 - 8 3 6 9

Vamos inverter essa matriz:

1 - 4 7 2 5 - 8 3 6 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Primeiro vamos trocar a primeira linha com a terceira:

3 6 9 2 5 - 8 1 - 4 7 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ⟶ 1 2 3 2 5 - 8 1 - 4 7 0 0 1 / 3 0 1 0 1 0 0

Agora multiplicamos a primeira linha por - 2 e somamos com a segunda linha:

1 2 3 0 1 - 14 1 - 4 7 0 0 1 / 3 0 1 - 2 / 3 1 0 0

Daí, multiplicamos a primeira linha por - 1 e somamos com a terceira:

1 2 3 0 1 - 14 0 - 6 4 0 0 1 / 3 0 1 - 2 / 3 1 0 - 1 / 3

Vamos trocar a segunda linha com a terceira:

1 2 3 0 - 6 4 0 1 - 14 0 0 1 / 3 1 0 - 1 / 3 0 1 - 2 / 3

Agora dividimos a segunda linha por 6 e somamos com a terceira:

1 2 3 0 - 6 4 0 0 - 40 / 3 0 0 1 / 3 1 0 - 1 / 3 1 / 6 1 - 13 / 18

Agora multiplicamos a terceira linha por - 3 / 40 :

1 2 3 0 - 6 4 0 0 1 0 0 1 / 3 1 0 - 1 / 3 - 1 / 80 - 3 / 40 13 / 240

Passo 4

Essa conta tá ficando chata, mas vamos seguir firme nela que já está acabando! Agora, multiplicamos a terceira linha por - 4 e somamos com a segunda:

1 2 3 0 - 6 0 0 0 1 0 0 1 / 3 21 / 20 3 / 10 - 1 1 / 20 - 1 / 80 - 3 / 40 13 / 240 ⟶ 1 2 3 0 1 0 0 0 1 0 0 1 / 3 - 21 / 1 20 - 3 / 6 0 11 / 1 20 - 1 / 80 - 3 / 40 13 / 240

Podemos simplificar mais ainda para

1 2 3 0 1 0 0 0 1 0 0 1 / 3 - 7 / 40 - 1 / 2 0 11 / 120 - 1 / 80 - 3 / 40 13 / 240

Agora, multiplicamos a terceira linha por - 3 e somamos com a primeira:

1 2 0 0 1 0 0 0 1 3 / 80 9 / 40 41 / 240 - 7 / 40 - 1 / 20 11 / 120 - 1 / 80 - 3 / 40 13 / 240

Por fim, multiplicamos a segunda linha por - 2 e somamos com a primeira:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1 / 80 13 / 40 - 1 / 80 - 7 / 40 - 1 / 20 11 / 120 - 1 / 80 - 3 / 40 13 / 240

Assim,

P c a n → S = 31 80 13 40 - 1 80 - 7 40 - 1 20 11 120 - 1 80 - 3 40 13 240

Desta forma, como v = 5 ,   - 12 ,   3 c a n :

v S = 31 80 13 40 - 1 80 - 7 40 - 1 20 11 120 - 1 80 - 3 40 13 240 5 - 12 3 = - 2 0 1

Portanto,

v = - 2 ,   0 ,   1 S

Repare que apesar da matriz ser bem feia, o vetor dá bonitinho 😊.

Resposta

v = 3 ,   - 2 ,   1 S

v = - 2 ,   0 ,   1 S

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