Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 2
Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de em relação à base de .
a)
b)
Passo 1
Fala galera, bora resolver mais um problema de mudança de base! O exercício quer que escrevamos as coordenadas do vetor na base . Para isso, usamos a relação
Assim, nosso objetivo principal é achar a matriz de mudança da base canônica (base antiga) para a base (base nova).
Vamos olhar primeiro para o item (a). A matriz é a construída da seguinte forma: pegamos os vetores de e os colocamos nas colunas da matriz:
Mas essa não é a matriz que queremos. Precisamos inverter ela!
Passo 2
Para inverter a matriz, usamos o método da equação (14):
Vamos fazer operações de linhas para transformar a matriz do lado esquerdo na identidade! O primeiro passo é multiplicar a terceira linha por e soma com a segunda:
Em seguida, fazemos a mesma coisa e somamos com a primeira linha:
Agora, multiplicamos a segunda linha por e somamos com a primeira:
Por fim, dividimos a segunda linha por e a terceira por :
Assim, achamos
Como
temos que
Fazendo o produto de matrizes, achamos
Assim, na base , o vetor é escrito como
Passo 3
Agora vamos para o item (b). Como , escrevemos primeiro
Vamos inverter essa matriz:
Primeiro vamos trocar a primeira linha com a terceira:
Agora multiplicamos a primeira linha por e somamos com a segunda linha:
Daí, multiplicamos a primeira linha por e somamos com a terceira:
Vamos trocar a segunda linha com a terceira:
Agora dividimos a segunda linha por e somamos com a terceira:
Agora multiplicamos a terceira linha por :
Passo 4
Essa conta tá ficando chata, mas vamos seguir firme nela que já está acabando! Agora, multiplicamos a terceira linha por e somamos com a segunda:
Podemos simplificar mais ainda para
Agora, multiplicamos a terceira linha por e somamos com a primeira:
Por fim, multiplicamos a segunda linha por e somamos com a primeira:
Assim,
Desta forma, como :
Portanto,
Repare que apesar da matriz ser bem feia, o vetor dá bonitinho 😊.