Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 11

Provar que se e são semelhantes então e são semelhantes, para todo . Sendo um polinômio, , indicamos por a matriz . Provar que se e são semelhantes, então e são semelhantes

Passo 1

Temos que provar duas informações. Sabendo que e são matrizes semelhantes, temos que verificar se e são semelhantes. Com este resultado, vamos poder provar que as matrizes e também são semelhantes.

Mas, se a gente tanto fala sobre matrizes semelhantes, o que isto significa para elas? Então, as matrizes são semelhantes se existir uma matriz invertível tal que:

Então, a nossa ideia é provar que existe uma matriz invertível tal que e satisfazem a relação acima. Para isto, vamos utilizar a ideia de indução matemática. Assim, vamos verificar que ocorre para as matrizes e , e , e assim por diante.

Passo 2

Vamos começar provando que as matrizes e são semelhantes. Para isto, vamos utilizar a única relação que conhecemos, a qual é:

Nós não queremos provar que e são semelhantes? Então, temos que fazer aparecer de alguma forma, não é? Para isto, vamos multiplicar a matriz em ambos lados da equação. Logo,

Só que . Se a gente substitui essa relação no primeiro membro, temos:

Como , temos

Então, como existe uma matriz invertível, temos que as matrizes e são semelhantes.

Passo 3

Vamos repetir o procedimento do Passo 2 mais uma vez, só que para as matrizes e . Começaremos da relação que obtivemos no final do Passo 2, a qual é:

Então, nós não queremos provar que e são semelhantes? Então, temos que fazer aparecer de alguma forma, não é? Para isto, vamos multiplicar a matriz em ambos lados da equação. Logo,

Só que . Se a gente substitui essa relação no primeiro membro, temos:

Então, temos que as matrizes e são semelhantes. Na verdade, não o valor do expoente para as matrizes e . Se e são semelhantes, sempre vai existir uma matriz invertível tal que:

Passo 4

Agora, temos que provar que as matrizes e são semelhantes também. Relembrando, essas matrizes são:

O procedimento para provarmos que elas são semelhantes é exatamente o mesmo que fizemos nos outros passos. Vamos verificar que existe uma matriz invertível tal que:

Agora, vamos ter que desenvolver a relação. Logo,

Agora, temos que lembrar do resultado obtido anteriormente. Como as matrizes e são semelhantes, independentemente do valor de , então, a soma das matrizes também são semelhantes.