Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 10
Considere as bases e de , em que
a) Encontre a matriz de transição de para .
b) Encontre a matriz de transição de para .
c) Calcule o vetor de coordenadas , em que , e use (10) para calcular .
d) Confira seu trabalho calculando diretamente.
Passo 1
Eai pessoal, partiu fazer uma questão sobre mudança de base no espaço vetorial dos polinômios?
Nesse exercício ele forneceu pra gente duas bases e . Nos primeiros itens queremos achar a matrizes de mudança de base e . Lembre que a matriz é construída pegando os vetores de e escrevendo duas coordenadas em termos da base . Daí, colocamos essas coordenadas nas colunas da matriz!
Para construtir a matriz , precisamos dos vetores de escrito em termos dos vetores de . Por exemplo, podemos escrever
Assim,
Resolvendo essa sistema, achamos
Da mesma forma, podemos escrever
Portanto, podemos escrever
Desta forma, achamos
Passo 2
No item (b), queremos achar . Para isso, basta inverter a matriz achada no item (a). Como a matriz é , vamos usar o truque:
Lembre-se que esse truque só vale para matrizes . Assim, achamos a inversa rapidinho:
Assim,
Passo 3
Agora vamos para o item (c). Ele fornece um vetor (polinômio) dado por
Para achar as coordendas de com relação a base , escrevemos:
Assim,
Ou ainda,
Daí, para calcular , usamos a fórmula
Assim,
Fazendo o produto de matrizes, achamos
Isso significa que
Passo 4
No item (d) temos que confirmar que nosso resultado do item (c) está correto. Para isso, usamos que
Como e :
Assim,
Vemos que as contas estão certas 😊