Enunciado

Considere as bases B = p 1 ,   p 2 e B ' = q 1 ,   q 2 de P 1 , em que

p 1 = 6 + 3 x ,             p 2 = 10 + 2 x ,             q 1 = 2               e           q 2 = 3 + 2 x

a) Encontre a matriz de transição de B ' para B .

b) Encontre a matriz de transição de B para B ' .

c) Calcule o vetor de coordenadas p B , em que p = - 4 + x , e use (10) para calcular p B ' .

d) Confira seu trabalho calculando p B ' diretamente.

Passo 1

Eai pessoal, partiu fazer uma questão sobre mudança de base no espaço vetorial dos polinômios?

Nesse exercício ele forneceu pra gente duas bases B = p 1 ,   p 2 e B ' = q 1 ,   q 2 . Nos primeiros itens queremos achar a matrizes de mudança de base P B ' → B e P B → B ' . Lembre que a matriz P A → B é construída pegando os vetores de A e escrevendo duas coordenadas em termos da base B . Daí, colocamos essas coordenadas nas colunas da matriz!

Para construtir a matriz P B ' → B , precisamos dos vetores de B ' escrito em termos dos vetores de B . Por exemplo, podemos escrever

q 1 = 2 = a p 1 + b p 2 ⇒ a   6 + 3 x + b   10 + 2 x = 2

Assim,

6 a + 10 b + 3 a + 2 b x = 2 ⇒ 6 a + 10 b = 2 3 a + 2 b = 0

Resolvendo essa sistema, achamos

a = - 2 9           e           b = 1 3

Da mesma forma, podemos escrever

q 2 = 3 + 2 x = a p 1 + b p 2 ⇒ 6 a + 10 b = 3 3 a + 2 b = 2 ⇒ a = 7 9           e         b = - 1 6

Portanto, podemos escrever

q 1 = - 2 9 , 1 3 B

q 2 = 7 9 ,   - 1 6 B

Desta forma, achamos

P B ' → B = - 2 / 9 7 / 9 1 / 3 - 1 / 6

Passo 2

No item (b), queremos achar P B → B ' . Para isso, basta inverter a matriz achada no item (a). Como a matriz é 2 × 2 , vamos usar o truque:

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Lembre-se que esse truque só vale para matrizes 2 × 2 . Assim, achamos a inversa rapidinho:

- 2 / 9 7 / 9 1 / 3 - 1 / 6 - 1 = 1 1 27 - 7 27 - 1 / 6 - 7 / 9 - 1 / 3 - 2 / 9 = 3 / 4 7 / 2 3 / 2 1

Assim,

P B → B ' = 3 / 4 7 / 2 3 / 2 1

Passo 3

Agora vamos para o item (c). Ele fornece um vetor (polinômio) dado por

p = - 4 + x

Para achar as coordendas de p com relação a base B , escrevemos:

p = - 4 + x = a p 1 + b p 2 ⇒ 6 a + 10 b = - 4 3 a + 2 b = 1 ⇒ a = 1           e           b = - 1

Assim,

p = 1 , - 1 B

Ou ainda,

p B = 1 - 1

Daí, para calcular w B ' , usamos a fórmula

p B ' = P B → B ' p B

Assim,

p B ' = 3 / 4 7 / 2 3 / 2 1 1 - 1

Fazendo o produto de matrizes, achamos

p B ' = - 11 / 4 1 / 2

Isso significa que

p = - 11 4 , 1 2 B '

Passo 4

No item (d) temos que confirmar que nosso resultado do item (c) está correto. Para isso, usamos que

p = - 11 4 , 1 2 B ' = - 11 4 q 1 + 1 2 q 2

Como q 1 = 2 e q 2 = 3 + 2 x :

p = - 11 4 ⋅ 2 + 1 2 3 + 2 x = - 11 2 + 3 2 + x

Assim,

p = - 4 + x

Vemos que as contas estão certas 😊

Resposta

P B ' → B = - 2 / 9 7 / 9 1 / 3 - 1 / 6

P B → B ' = 3 / 4 7 / 2 3 / 2 1

p B = 1 - 1

p B ' = - 11 / 4 1 / 2

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