Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 5

Provar que todo sub-espaço vetorial de , com , é o núcleo de uma forma linear não nula.

Passo 1

Para conseguirmos resolver esta questão, vamos ter que voltar para o início, para a definição de um espaço dual.

O espaço dual é uma transformação linear . Se . Chamamos cada elemento de forma linear.

Então, se temos uma forma linear não nula, temos:

Passo 2

No final do Passo anterior obtivemos uma relação muito importante: .

Agora, temos que interpretar o impacto de uma forma não nula para a imagem da transformação. Podemos dizer que, o resultado obtido, implica na imagem desta transformação ser diferente de 0.

Consequentemente, existe algum vetor que compõe base da nossa imagem. Com isto, podemos assumir que:

Esta informação também condiz com o fato que , o que implica em:

Passo 3

Agora é o momento de chave de ouro para finalizarmos a questão. Vamos utilizar o teorema do núcleo e imagem. Para uma transformação , ele nos diz que:

Mas como , temos:

E esta relação não parece muito a relação do enunciado da questão? Basta fazermos . Em outras palavras, basta dizermos que o núcleo da nossa transformação , a forma linear não nula, consiste no espaço vetorial , o qual é subespaço de .