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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.Exercícios Suplementares - Ex. 8

Uma caixa contendo moedas de 1 ,   5   e 10 centavos tem 13 moedas totalizando 83 centavos. Quantas moedas de cada tipo há na caixa?

Passo 1

Nesse problema, vamos falar que cada tipo de moeda é um tipo de incógnita. Então, denotaremos:

x     →     p a r a   a s   d e   1   c e n t a v o y     →   p a r a   a s   d e   5   c e n t a v o s z   →   p a r a   a s   d e   10   c e n t a v o s

Passo 2

O problema nos deu que o total de 13 moedas na caixa resultando em 83 centavos. Então, faremos uma equação relacionando o valor e outra à quantidade de moedas.

  • Para o valor:

    • x + 5 y + 10 z = 83

  • Para a quantidade:

    • x + y + z = 13

    Se escrevemos um sistema de equações, podemos escrevê-lo como uma matriz ampliada:

    1 1 1 5 1 10 13 83

    Passo 3

    Vamos usar da eliminação de Gauss-Jordan e resolver o sistema:

    1 1 1 5 1 10 13 83     → L 2 → L 2 - L 1       1 0 1 4 1 9 13 70

    1 0 1 4 1 9 13 70     → L 2 → 1 4 L 2       1 0 1 1 1 9 / 4 13 70 / 4

    1 0 1 1 1 9 / 4 13 70 / 4     → L 1 → L 1 - L 2       1 0 0 1 - 5 / 4 9 / 4 - 9 / 2 70 / 4

    Passo 4

    Matriz escalonada, vamos reescrevê-la passando pro sistema de equações:

    x - 5 4 z = - 9 2 y + 9 4 z = 70 4

    Passo 5

    Ao reescrevermos esse sistema, vamos testar a incógnita z uma vez que ela está presente em todas as equações. Devemos procurar uma solução onde x ,   y e z são inteiros uma vez que não existe meia moeda.

  • Se z = 6 .

x - 5 4 ( 6 ) = - 9 2 y + 9 4 ( 6 ) = 70 4

x - 30 4 = - 9 2 y + 54 4 = 70 4

x - 15 2 = - 9 2 y + 54 4 = 70 4

x = 15 2 - 9 2 y = 70 4 - 54 4         →         x = 6 2 y = 16 4

x = 3 y = 4

Resposta

Portanto, a solução que satisfaz as condições é dada por:   x = 3     y = 4 z = 6

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Sem utilizar papel e lápis, determine se o sistema homogêneo 2 x 1 - 3 x 2 + 4 x 3 - x 4 = 0 7 x 1 + x 2 - 8 x 3 + 9 x 4 = 0 2 x 1 + 8 x 2 + x 3 - x 4 = 0 tem soluções não triviais.
Resolva o sistema linear - 2 b + 3 c = 1 3 a + 6 b - 3 c = - 2 6 a + 6 b + 3 c = 5 por eliminição de Gauss-Jordan.
Resolva o sistema linear 2 x + 2 y + 4 z = 0 w - y - 3 z = 0 2 w + 3 x + y + z = 0 - 2 w + x + 3 y - 2 z = 0 por qualquer método.
Resolva o sistema linear 2 x - y - 3 z = 0 - x + 2 y - 3 z = 0 x + y + 4 z = 0 por qualquer método.