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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 5

Calcular o traço da matriz do operador linear F ∈ L R 3 dado por F x , y , z = x , x - y , x + z . Generalizar para F x , y , z = a x + b y + c z , d x + e y + f z , g x + h y + i z .

Passo 1

Então, precisamos calcular o traço da matriz F B , sendo B = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 a base canônica do R 3 e F x , y , z = x , x - y , x + z .

Depois, a questão pede para generalizarmos a função F , para F x , y , z = a x + b y + c z , d x + e y + f z , g x + h y + i z .

Bom, sejamos espertos então. Percebam que a função F x , y , z = x , x - y , x + z é um caso particular de F x , y , z = a x + b y + c z , d x + e y + f z , g x + h y + i z .

Então, vamos resolver o caso geral, e depois iremos calcular o caso específico. Fica muito mais fácil assim!

Mas então, como vamos calcular o traço da matriz F B . Para isto, precisamos obter a matriz F B . Somente após isto é que vamos conseguir fazer a soma dos termos da diagonal principal, e assim obter o traço.

Certo, e como faremos isto? Simples, vamos pegar cada vetor de B e aplicar a transformação F . Depois, vamos escrever como combinação dos vetores de B , isto é, por exemplo:

F 1,0 , 0 = α 11 1,0 , 0 + α 21 0,1 , 0 + α 31 0,0 , 1

E o que iremos descobrir são os coeficientes α , os quais serão os elementos da primeira coluna da nossa matriz (primeira coluna pois utilizamos o primeiro vetor da base B ).

Passo 2

Agora, só nos resta cair em campo e fazer todas essas contas. Lembrando, vamos trabalhar com o operador F generalizado! Sendo assim, temos:

F 1,0 , 0 = a , d , g = α 11 1,0 , 0 + α 21 0,1 , 0 + α 31 0,0 , 1

F 1,0 , 0 = a , d , g = α 11 , α 2 1 , α 3 1

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 11 = a α 21 = d α 31 = g

Agora, nosso trabalho é ficar repetindo o procedimento para os outros vetores da base canônica. Sendo assim, temos:

F 0 , 1 , 0 = b , e , h = α 1 2 1,0 , 0 + α 2 2 0,1 , 0 + α 3 2 0,0 , 1

F 0,1 , 0 = b , e , h = α 1 2 , α 2 2 , α 3 2

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 12 = b α 22 = e α 32 = h

Por fim, para o terceiro vetor,

F 0 , 0 , 1 = c , f , i = α 1 3 1,0 , 0 + α 2 3 0,1 , 0 + α 3 3 0,0 , 1

F 0,0 , 1 = c , f , i = α 1 3 , α 2 3 , α 3 3

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 1 3 = c α 2 3 = f α 3 3 = i

Passo 3

Agora, vamos montar a nossa matriz F B . Como a base B tem 3 vetores, teremos uma matriz com 3 colunas e 3 linhas.

Desta forma, a nossa matriz será:

F B = α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33

Então, substituindo os valores que obtivemos no Passo 2, temos:

F B = a b c d e f g h i

Por fim, ao somarmos os elementos da diagonal principal, temos:

t r a ç o = a + e + i

E esta é a solução para o caso generalizado!

Passo 4

Agora, vamos escrever o traço para o nosso caso particular, F x , y , z = x , x - y , x + z .

Se vocês compararem com o caso generalizado, vão obter a = 1 , e = 1 e i = 1 . Destacamos apenas estas variáveis pois elas são as únicas que afetam no cálculo do traço da matriz F B .

Então, o traço para o caso particular será:

t r a ç o = 1 + 1 + 1 = 3

E assim finalizamos a nossa questão!

Resposta

Para o operador F x , y , z = x , x - y , x + z , traço é igual a 3. Já para o operador F x , y , z = a x + b y + c z , d x + e y + f z , g x + h y + i z , o traço é a + e + i .

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