Seja F o operador linear de M 2 R dado por

F X = 1 1 2 1 X

∀ X em M 2 R . Sendo B a base canônica do espaço M 2 R determine o traço da matriz F B . (Nota: traço = soma dos termos da diagonal principal.)

Passo 1

Precisamos calcular o traço da matriz F B . O bom é que a questão nos lembrou o que é o traço, que é a soma dos termos da diagonal principal.

Então, precisamos obter a matriz F B . Somente após isto é que vamos conseguir fazer a soma dos termos da diagonal principal.

Certo, e como faremos isto? Simples, vamos pegar cada vetor de B e aplicar a transformação F . Depois, vamos escrever como combinação dos vetores de B , isto é:

F 1 0 0 0 = α 11 1 0 0 0 + α 21 0 1 0 0 + α 31 0 0 1 0 + α 41 0 0 0 1

E o que iremos descobrir são os coeficientes α , os quais serão os elementos da primeira coluna da nossa matriz (primeira coluna pois utilizamos o primeiro vetor da base B ).

Passo 2

Agora, só nos resta cair em campo e fazer todas essas contas. Começando pelo vetor 1 0 0 0 , temos:

F 1 0 0 0 = 1 1 2 1   1 0 0 0 =   1 0 2 0

F 1 0 0 0 = 1 0 2 0 = α 11 1 0 0 0 + α 21 0 1 0 0 + α 31 0 0 1 0 + α 41 0 0 0 1

1 0 2 0 = α 11 α 21 α 31 α 41

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 11 = 1 α 21 = 0 α 31 = 2 α 41 = 0

Agora, nosso trabalho é ficar repetindo o procedimento para os outros vetores da base canônica. Sendo assim, temos:

F 0 1 0 0 = 1 1 2 1   0 1 0 0 =   0 1 0 2

F 0 1 0 0 = 0 1 0 2 = α 12 1 0 0 0 + α 22 0 1 0 0 + α 32 0 0 1 0 + α 42 0 0 0 1

0 1 0 2 = α 12 α 22 α 32 α 42

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 12 = 0 α 22 = 1 α 32 = 0 α 42 = 2

Repetindo o procedimento para o terceiro vetor, temos:

F 0 0 1 0 = 1 1 2 1 0 0 1 0 =   1 0 1 0

F 0 0 1 0 = 1 0 1 0 = α 13 1 0 0 0 + α 23 0 1 0 0 + α 33 0 0 1 0 + α 43 0 0 0 1

1 0 1 0 = α 13 α 23 α 33 α 43

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 13 = 1 α 23 = 0 α 33 = 1 α 43 = 0

Por fim, para o último vetor da base canônica, temos:

F 0 0 0 1 = 1 1 2 1 0 0 0 1 =   0 1 0 1

F 0 0 0 1 = 0 1 0 1 = α 14 1 0 0 0 + α 24 0 1 0 0 + α 34 0 0 1 0 + α 44 0 0 0 1

0 1 0 1 = α 14 α 24 α 34 α 44

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 14 = 0 α 24 = 1 α 34 = 0 α 44 = 1

Passo 3

Agora, vamos montar a nossa matriz F B . Como a base B tem 4 vetores, teremos uma matriz com 4 colunas e 4 linhas.

Desta forma, a nossa matriz será:

F B = α 11 α 12 α 13 α 14 α 21 α 22 α 23 α 24 α 31 α 32 α 33 α 34 α 41 α 42 α 43 α 44

Então, substituindo os valores que obtivemos no Passo 2, temos:

F B = 1 0 1 0 0 1 0 1 2 0 1 0 0 2 0 1

Por fim, ao somarmos os elementos da diagonal principal, temos:

t r a ç o = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

E esta é a nossa solução da questão!

Resposta

t r a ç o = 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados