Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 4

Seja F o operador linear de M 2 R dado por

F X = 1 1 2 1 X

∀ X em M 2 R . Sendo B a base canônica do espaço M 2 R determine o traço da matriz F B . (Nota: traço = soma dos termos da diagonal principal.)

Passo 1

Precisamos calcular o traço da matriz F B . O bom é que a questão nos lembrou o que é o traço, que é a soma dos termos da diagonal principal.

Então, precisamos obter a matriz F B . Somente após isto é que vamos conseguir fazer a soma dos termos da diagonal principal.

Certo, e como faremos isto? Simples, vamos pegar cada vetor de B e aplicar a transformação F . Depois, vamos escrever como combinação dos vetores de B , isto é:

F 1 0 0 0 = α 11 1 0 0 0 + α 21 0 1 0 0 + α 31 0 0 1 0 + α 41 0 0 0 1

E o que iremos descobrir são os coeficientes α , os quais serão os elementos da primeira coluna da nossa matriz (primeira coluna pois utilizamos o primeiro vetor da base B ).

Passo 2

Agora, só nos resta cair em campo e fazer todas essas contas. Começando pelo vetor 1 0 0 0 , temos:

F 1 0 0 0 = 1 1 2 1   1 0 0 0 =   1 0 2 0

F 1 0 0 0 = 1 0 2 0 = α 11 1 0 0 0 + α 21 0 1 0 0 + α 31 0 0 1 0 + α 41 0 0 0 1

1 0 2 0 = α 11 α 21 α 31 α 41

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 11 = 1 α 21 = 0 α 31 = 2 α 41 = 0

Agora, nosso trabalho é ficar repetindo o procedimento para os outros vetores da base canônica. Sendo assim, temos:

F 0 1 0 0 = 1 1 2 1   0 1 0 0 =   0 1 0 2

F 0 1 0 0 = 0 1 0 2 = α 12 1 0 0 0 + α 22 0 1 0 0 + α 32 0 0 1 0 + α 42 0 0 0 1

0 1 0 2 = α 12 α 22 α 32 α 42

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 12 = 0 α 22 = 1 α 32 = 0 α 42 = 2

Repetindo o procedimento para o terceiro vetor, temos:

F 0 0 1 0 = 1 1 2 1 0 0 1 0 =   1 0 1 0

F 0 0 1 0 = 1 0 1 0 = α 13 1 0 0 0 + α 23 0 1 0 0 + α 33 0 0 1 0 + α 43 0 0 0 1

1 0 1 0 = α 13 α 23 α 33 α 43

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 13 = 1 α 23 = 0 α 33 = 1 α 43 = 0

Por fim, para o último vetor da base canônica, temos:

F 0 0 0 1 = 1 1 2 1 0 0 0 1 =   0 1 0 1

F 0 0 0 1 = 0 1 0 1 = α 14 1 0 0 0 + α 24 0 1 0 0 + α 34 0 0 1 0 + α 44 0 0 0 1

0 1 0 1 = α 14 α 24 α 34 α 44

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter a seguinte solução:

α 14 = 0 α 24 = 1 α 34 = 0 α 44 = 1

Passo 3

Agora, vamos montar a nossa matriz F B . Como a base B tem 4 vetores, teremos uma matriz com 4 colunas e 4 linhas.

Desta forma, a nossa matriz será:

F B = α 11 α 12 α 13 α 14 α 21 α 22 α 23 α 24 α 31 α 32 α 33 α 34 α 41 α 42 α 43 α 44

Então, substituindo os valores que obtivemos no Passo 2, temos:

F B = 1 0 1 0 0 1 0 1 2 0 1 0 0 2 0 1

Por fim, ao somarmos os elementos da diagonal principal, temos:

t r a ç o = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

E esta é a nossa solução da questão!

Resposta

t r a ç o = 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja F o operador linear do R 2 cuja matriz em relação à base B = 1,0 , 1,4 é F B = 1 1 5 1 Determinar a matriz de F em relação à base canônica, usando a fórmula de mudança de base para um operador.
Calcular o traço da matriz do operador linear F ∈ L R 3 dado por F x , y , z = x , x - y , x + z . Generalizar para F x , y , z = a x + b y + c z , d x + e y + f z , g x + h y + i z .
Seja F ∈ L R 3 , R 2 definida por F x , y , z = x + z , y - 2 z . Determinar F B , C sendo B = 1,2 , 1 , 0,1 , 1 , 0,3 , - 1 e C = 1,5 , 2 , - 1 .
Se a matriz de um operador linear F do R 3 em relação à base canônica é 1 1 0 0 1 0 0 1 - 1 E se H = I + F + F 2 , determine a matriz de H em relação à base canônica do R 3 . Ache também H x , y , z .
Sejam F , G ∈ L P 2 R 2 , P 3 R 2 assim definidos: F p t = t p t - p 1 e G p t = t - 1 p t , ∀ p t ∈ P 2 R 2 . Determinar as matrizes de F e de G em relação ao seguinte par de bases: B = 1 , t - 1 , t