Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 6
Seja o operador linear do cuja matriz em relação à base é
Determinar a matriz de em relação à base canônica, usando a fórmula de mudança de base para um operador.
Passo 1
Precisamos determinar , sendo a base canônica do . O legal é que a questão já nos diz o caminho que temos que usar: a fórmula de mudança de base.
Mas sim, qual é essa fórmula? Ela é:
A matriz nos já temos. O trabalho será encontrar a matriz e a sua inversa. Mas se nós queremos descobrir a matriz , precisamos saber quem é essa matriz primeiramente.
Então, é a matriz de mudança de base de para . Para conhecermos ela, precisamos escrever os vetores da base como combinação linear da base . Depois, basta encontrarmos a inversa para conseguir obter .
Passo 2
Vamos agora determinar a matriz . Como foi dito no Passo 1, vamos escrever os vetores de como combinação linear dos vetores de . Começando pelo vetor , temos:
Comparando coordenada a coordenada, temos o sistema:
Cuja solução é e . Repetindo o procedimento para o segundo vetor de , , temos:
Comparando coordenada a coordenada, temos o sistema:
Cuja solução é e .
Agora que escrevemos todos os vetores de como combinação dos vetores de , podemos montar a matriz . Como tem dois vetores, tem 2 colunas. E como tem dois vetores, tem 2 linhas.
Sendo assim, temos:
Passo 3
E para determinar , a matriz de mudança de base de para .
Uma opção é fazer o procedimento bem semelhante ao que fizemos no Passo . A outra, a que faremos aqui, é inverter a matriz .
Como temos uma matriz 2x2, podemos fazer isto rapidamente. Mas primeiro, vamos calcular o determinante. Então,
Então, a matriz inversa será:
O que fizemos foi o seguinte. Imagem a matriz , a sua inversa será:
E esta é uma forma prática para invertermos uma matriz 2x2.
Passo 4
Para finalizarmos a questão com chave de ouro, vamos fazer a multiplicação de matrizes para obter . Usando as informações encontradas nos outros passos, temos:
E assim, finalmente, finalizamos a questão!