Enunciado

Seja F o operador linear do R 2 cuja matriz em relação à base B = 1,0 , 1,4 é

F B = 1 1 5 1

Determinar a matriz de F em relação à base canônica, usando a fórmula de mudança de base para um operador.

Passo 1

Precisamos determinar F C , sendo C = 1,0 , 0,1 a base canônica do R 2 . O legal é que a questão já nos diz o caminho que temos que usar: a fórmula de mudança de base.

Mas sim, qual é essa fórmula? Ela é:

F C = M - 1 F B M

A matriz F B nos já temos. O trabalho será encontrar a matriz M e a sua inversa. Mas se nós queremos descobrir a matriz M , precisamos saber quem é essa matriz primeiramente.

Então, M é a matriz de mudança de base de B para C . Para conhecermos ela, precisamos escrever os vetores da base C como combinação linear da base B . Depois, basta encontrarmos a inversa M - 1 para conseguir obter F C .

Passo 2

Vamos agora determinar a matriz M . Como foi dito no Passo 1, vamos escrever os vetores de C como combinação linear dos vetores de B . Começando pelo vetor 1,0 , temos:

1,0 = α 11 1,0 + α 21 1,4

1,0 = α 11 + α 21 , 4 α 21

Comparando coordenada a coordenada, temos o sistema:

α 11 + α 21 = 1 4 α 21 = 0

Cuja solução é α 11 = 1 e α 21 = 0 . Repetindo o procedimento para o segundo vetor de C , 0,1 , temos:

0,1 = α 1 2 1,0 + α 2 2 1,4

0 , 1 = α 1 2 + α 2 2 , 4 α 2 2

Comparando coordenada a coordenada, temos o sistema:

α 1 2 + α 2 2 = 0 4 α 2 2 = 1

Cuja solução é α 12 = - 1 / 4 e α 22 = 1 / 4 .

Agora que escrevemos todos os vetores de C como combinação dos vetores de B , podemos montar a matriz M . Como C tem dois vetores, M tem 2 colunas. E como B tem dois vetores, M tem 2 linhas.

Sendo assim, temos:

M = α 11 α 12 α 21 α 22 = 1 - 1 4 0 1 4

Passo 3

E para determinar M - 1 , a matriz de mudança de base de C para B .

Uma opção é fazer o procedimento bem semelhante ao que fizemos no Passo 2 . A outra, a que faremos aqui, é inverter a matriz M .

Como temos uma matriz 2x2, podemos fazer isto rapidamente. Mas primeiro, vamos calcular o determinante. Então,

det ⁡ M = 1 ⋅ 1 4 - 0 ⋅ - 1 4 = 1 4

Então, a matriz inversa será:

M - 1 = 1 1 4 ⋅ 1 4 1 4 0 1 = 4 ⋅ 1 4 1 4 0 1 = 1 1 0 4  

O que fizemos foi o seguinte. Imagem a matriz X = a b c d , a sua inversa será:

X - 1 = 1 det ⁡ X d - b - c a

E esta é uma forma prática para invertermos uma matriz 2x2.

Passo 4

Para finalizarmos a questão com chave de ouro, vamos fazer a multiplicação de matrizes para obter F C . Usando as informações encontradas nos outros passos, temos:

F C = M - 1 F B M

F C = 1 1 0 4 1 1 5 1 1 - 1 4 0 1 4

F C = 1 1 0 4 1 0 5 - 1

F C = 6 - 1 20 - 4

E assim, finalmente, finalizamos a questão!

Resposta

F C = 6 - 1 20 - 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja T : R 3 → R 3 a projeção ortogonal de R 3 sobre o plano x y . Mostre que T ∘ T = T .
Sejam T 1 : P n → P n e T 2 : P n → P n os operadores lineares dados por T 1 p ( x ) = p ( x - 1 ) e T 2 p ( x ) = p ( x + 1 ) . Encontre ( T 1 ∘ T 2 ) ( p x ) e ( T 2 ∘ T 1 ) ( p x ) .
Use a definição de T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 dada na Fórmula (3) para provar que T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 é uma transformação linear. T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 = ( T 3 ∘ T 2 ) ∘ T 3 . T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 = T 3 ∘ ( T 2 ∘ T 3 )
Sejam P 1 , … , P k : V → V operadores lineares tais que(i) P 1 + … + P k = I . (ii) P i P j = 0 , a transformação linear nula, se i ≠ j Mostre que(a) P i 2 = P i , para i = 1 , … , k .(b) V = w 1 ⊕ …
Sejam T : V → UeU → w transformações lineares. Suponha que os espaços vetoriais V ,Uew são de dimensão finita. Sejam AeB matrizes tais que o produto A B esteja definido. Mostre quea) p o s t o S T ≤ p