Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 10b

Seja , definida por . Determinar a matriz de em relação às bases:

e ;

e ;

Passo 1

Vamos lá a mais uma questão! Agora, temos que determinar as matrizes de transformação e . Não se assustem por causa dos nossos espaços vetoriais. O procedimento para polinômios é exatamente o mesmo que para matrizes ou .

E se o procedimento é o mesmo, o que precisamos fazer então? Vejam só, vamos começar a análise para a matriz da transformação . A ideia é vocês pegarem cada vetor da base , aplicar a transformação e depois escrever como combinação linear do vetor de . Isto é:

Com isto teremos um sistema e nosso trabalho é descobrir os valores de cada um destes coeficientes . Como utilizamos o primeiro vetor de , teremos a primeira coluna da matriz . E assim por diante

Passo 2

Vamos agora para o trabalho braçal! Fazer várias contas! Começaremos pela determinação da matriz e utilizaremos o procedimento descrito no Passo 1. Então, para o primeiro vetor de , , temos:

Então, obtemos . Agora, precisamos resolver para os outros vetores de . Para o segundo vetor de , o qual é , temos

E assim obtemos . Para o último vetor de , , temos:

E o último valor que buscamos é .

Passo 3

Por fim, basta montarmos a nossa matriz . Como a base tem 3 vetores, teremos uma matriz com 3 colunas. Já como a base tem um vetor, teremos uma matriz com 1 linha.