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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 13

Sejam T 1 : P 1 → P 2 a transformação linear definida por

T 1 c 0 + c 1 x = 2 c 0 - 3 c 1 x

E T 2 : P 2 → P 3 a transformação linear definida por

T 2 c 0 + c 1 x + c 2 x 2 = 3 c 0 x + 3 c 1 x 2 + 3 c 2 x 3

Sejam B = { 1 ,   x } e B ' ' = { 1 ,   x ,   x 2 } , B ’ = { 1 ,   x ,   x 2 ,   x 3 } .

  1. Encontre T 2 ∘ T 1 B ' , B , T 2 B ' , B ' ' e T 1 B ' ' , B .
  2. Enuncie uma fórmula relacionando as matrizes da parte (a).
  3. Verifique que as matrizes da parte (a) satisfazem a fórmula que você enunciou na parte (b).

Passo 1

Como os espaços estão nas bases canônicas é só a gente montar as matrizes de acordo com as operações que as transformações realizam, isto é, para T 1

T 1 c 0 + c 1 x = 2 c 0 - 3 c 1 x

T 1 c 0 c 1 = 2 c 0 - 3 c 1 0 ⇒ 2 0 0 - 3 0 0 c 0 c 1 = 2 c 0 - 3 c 1 0

T 1 B ' ' , B = 2 0 0 - 3 0 0

E para T 2

T 2 c 0 + c 1 x + c 2 x 2 = 3 c 0 x + 3 c 1 x 2 + 3 c 2 x 3

T 2 1 = 3 x + 3 0 x 2 + 3 ( 0 ) c 2 x 3 = 3 x = 0 3 0 0

T 2 x = 3 ( 0 ) x + 3 x 2 + 3 ( 0 ) c 2 x 3 = 3 x 2 = 0 0 3 0

T 2 x 2 = 3 ( 0 ) x + 3 0 x 2 + 3 c 2 x 3 = 3 x 3 = 0 0 0 3

T 2 B ' , B ' ' = 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 3

E para composição T 2 ∘ T 1 B ' , B , como estamos na base canônica, basta a gente realizar a composição e substituir os vetores canônicos

T 2 ∘ T 1 B ' , B = T 2 T 1 c 0 + c 1 x = T 2 2 c 0 - 3 c 1 x = 6 c 0 x - 9 c 1 x 2 + 0 c 3 x 3

T 2 ∘ T 1 B ' , B 1 = 6 x - 9 ( 0 ) x 2 + 0 ( 0 ) x 3 = 6 x = 0 6 0 0

T 2 ∘ T 1 B ' , B x = 6 0 x - 9 x 2 + 0 0 x 3 = - 9 x 2 = 0 0 - 9 0

T 2 ∘ T 1 B ' , B x 2 = 6 ( 0 ) x - 9 ( 0 ) x 2 + 0 ( 1 ) x 3 = 0 = 0 0 0 0

T 2 ∘ T 1 B ' , B = 0 0 0 6 0 0 0 - 9 0 0 0 0

Passo 2

Na letra (b), a fórmula que relaciona essas matrizes é a fórmula 10 dada pelo Teorema 8.4.1, que diz que, “Se T 1 : U → V e T 2 : V → W forem transformações lineares e B , B ' ' e B ' bases de U ,   V   e   W , respectivamente, então”

T 2 ∘ T 1 B ' , B = T 2 B ' , B ' ' T 1 B ' ' , B

Passo 3

Aplicando a nossa fórmula de (b)

T 2 ∘ T 1 B ' , B = T 2 B ' , B ' ' T 1 B ' ' , B ⇒ T 2 ∘ T 1 B ' , B = 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 3 2 0 0 - 3 0 0 = 0 0 0 6 0 0 0 - 9 0 0 0 0

T 2 ∘ T 1 B ' , B = 0 0 0 6 0 0 0 - 9 0 0 0 0

O que confere com nosso resultado de (a).

Resposta

  1. T 1 B ' , B = 2 0 0 - 3 0 0 ,       T 2 B ' = 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 3   e   T 2 ∘ T 1 B ' , B = 0 0 0 6 0 0 0 - 9 0 0 0 0 .
  2. Teorema 8.4.1.
  3. Demonstração.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar as bases duais de cada uma das seguintes bases: 1 , t , 1 - t 2d oP 2 ( R )
Determinar as bases duais de cada uma das seguintes bases: 1 , 2 , 0,1 )d oR 2
Verifique se são semelhantes as matrizes: - 1 - 2 1 2 e 1 0 0 0
Determinar as bases duais de cada uma das seguintes bases: 0,1 , 0,0 , 2,1 , 0,0 , 0,0 , 1,1 , 0,0 , 0,3d oR 4
Sejam F 1 e F 2 ∈ R 3 * definidas por F 1 x , y , z = x - 3 y + 2 z e F 2 x , y , z = 2 x - y + z . Determinar F 1 + F 2 , 2 F 1 + 3 F 2 e os respectivos núcleos.