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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 8

Em cada parte, use a informação dada para determinar se a transformação linear T é injetora.

  1. T : P 2 → P 3 com T a 0 + a 1 x + a 2 x 3 = x ( a 0 + a 1 x + a 2 x 3 ) .
  2. T : P 2 → P 3 com T p x = p ( x + 1 ) .

Passo 1

A gente viu que de acordo com o Teorema 8.2.1 que se T : V → W for uma transformação linear, as afirmações seguintes são equivalentes.

  1. T é injetora.
  2. N u c T = { 0 } .

Então precisamos verificar em cada item, se   N u c T = { 0 } ou de forma equivalente, se n u l T = 0 .

Passo 2

Na letra (a), T : P 2 → P 3 com T a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = x ( a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) , vamos passar ela pra forma vetorial, usando as coordenadas como a ,   x ,   x 2 e ( a ,   x ,   x 2 ,   x 3 ) vamos ter que

T a 0 ,   a 1 ,   a 2 = ( 0 ,   a 1 ,   a 2 ,   a 3 )

Logo a matriz que representa T é

A = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Temos 3 colunas linearmente independentes, então p o s T = 3 , e pelo Teorema 8.1.4

p o s T + n u l T = n ⇒ 3 + n u l T = 3

n u l T = 0

Portanto, como n u l T = 0 , nossa transformação é injetora.

Passo 3

Na letra (b), temos T : P 2 → P 2 com T p x = p ( x + 1 ) , tomando que

p x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ⇒ p x + 1 = a 0 + a 1 x + 1 + a 2 x + 1 2

p x + 1 = a 0 + a 1 x + a 1 + a 2 x 2 + 2 a 2 x + a 2

p x + 1 = a 0 + a 1 + a 2 + a 1 + 2 a 2 x + a 2 x 2

Logo temos que

T a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ⏝ p x = a 0 + a 1 + a 2 + a 1 + 2 a 2 x + a 2 x 2 ⏝ p x + 1

Na forma vetorial

T a 0 ,   a 1 ,   a 2 = ( a 0 + a 1 + a 2 ,   a 1 + 2 a 2 ,   a 2 )

E agora podemos escrever essa na transformação na forma matricial

A = 1 1 1 0 1 2 0 0 1

Então temos 3 colunas linearmente independentes isso quer dizer que p o s T = 3 , então

p o s T + n u l T = n ⇒ 3 + n u l T = 3

n u l T = 0

Portanto, n u l T = 0 , então a transformação é injetora.

Resposta

  1. É injetora.
  2. É injetora.
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