Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 3a

Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.

Passo 1

Fala ai meu querido, para resolver essa questão vamos ter que verificar se a transformação é linear ou não. Então vamos que lembrar que se uma transformação é linear, os seguintes requisitos tem que ser atendidos:

Passo 2

Vamos primeiro testar se a transformação é fechada para soma. Neste caso, temos que . Vamos supor e . Dessa forma seguindo a transformação que nos foi dada no exercício:

Portanto,

Agora note que isso pode ser quebrado em

E as duas parcelas são exatamente e . Assim,

A primeira propriedade é satisfeita!!!

Passo 3

Para testar o segundo requisito, vamos fazer:

Assim, aplicando a transformação:

Como aparece em todo mundo, podemos tirá-lo para fora:

Vemos que a segunda condição também é satisfeita. Assim, é uma transformação linear!!!

Resposta

Sim

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