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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 3

Considere o conjunto B =   W 1 = 1 , - 1,1 ,   W 2 = 1,1 , 0 , W 3 = ( - 1,1 , 2 ) . a )   M o s t r e   q u e   o   c o n j u n t o   B   é   o r t o g o n a l   e m   r e l a ç ã o   a o   p r o d u t o   i n t e r n o   u s u a l   d e   R 3 . Este conjunto é uma base R 3 ? Por quê?

b) Determine um conjunto ortonormal de vetores C = U 1 ,   U 2 , U 3 formado por múltiplos escalares dos vetores do conjunto B.c) Escreva o vetor V = ( 2,1 , 0 ) como combinação linear de W 1 , W 2 , W 3 .d) Escreva o vetor V = ( x , y , z ) de R 3 como combinação linear de W 1 , W 2 , W 3 .

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Álgebra Linear, vamos lá?

Vamos separar as condições, para a nossa resolução ficar mais fácil:

B =   W 1 = 1 , - 1,1 ,   W 2 = 1,1 , 0 , W 3 = ( - 1,1 , 2 ) .

Passo 2

Pessoal, vamos resolver o primeiro questionamento do exercício, que pede: conjunto B é ortogonal em relação ao produto interno usual de R 3 . Este conjunto é uma base R 3 ? Por quê?

Galera, para sabermos se o determinado conjunto é uma base no R 3 , basta realizarmos os produtos escalares dos seguintes vetores: W 1 ∙ W 2

W 1 ∙ W 3 W 2 ∙ W 2

Beleza, agora vamos realizar os produtos escalares Vetores: W 1 ∙ W 2

W 1 ∙ W 2 = 1 , - 1,1 ∙ 1,1 , 0

W 1 ∙ W 2 = 1 ∙ 1 + - 1 ∙ 1 + ( 1 ∙ 0 ) W 1 ∙ W 2 = 1 - 1 + 0 W 1 ∙ W 2 = 0

Vetores: W 1 ∙ W 3

W 1 ∙ W 3 = 1 , - 1,1 ∙ - 1,1 , 2

W 1 ∙ W 3 = 1 ∙ ( - 1 ) + - 1 ∙ 1 + ( 1 ∙ 2 ) W 1 ∙ W 3 = - 1 - 1 + 2 W 1 ∙ W 3 = 0

Vetores: W 2 ∙ W 3

W 2 ∙ W 3 = 1,1 , 0 ∙ - 1,1 , 2

W 2 ∙ W 3 = 1 ∙ ( - 1 ) + 1 ∙ 1 + ( 0 ∙ 2 ) W 2 ∙ W 3 = - 1 + 1 + 0 W 2 ∙ W 3 = 0

Portanto, os novos vetores do conjunto é: W 1 = 0 ,   W 2 = 0 , W 3 = ( 0 ) O conjunto representa uma base no R 3 , devido ao fato que é um conjunto ortogonal, logo é L.I, além disso, é um subconjunto de R 3 L.I, com 3 vetores, logo, é uma base de R 3 , devido ao fato que a sua dimensão é igual a 3

Passo 3

Pessoal, agora iremos para o segundo questionamento do exercício no qual ele pede: determine um conjunto ortonormal de vetores C = U 1 ,   U 2 , U 3 formado por múltiplos escalares dos vetores do conjunto B.

Para resolver, esse questionamento, primeiramente vamos calcular a norma de cada vetor do conjunto B.

v =   x 2 + y 2 + z ²

Agora vamos aos cálculos

Vetor: W 1 = 1 , - 1,1

w 1 =   x 2 + y 2 + z ²

w 1 =   1 2 + ( - 1 ) 2 + 1 ²

w 1 =   3

Vetor: W 2 = 1,1 , 0

w 2 =   x 2 + y 2 + z ²

w 2 =   1 2 + 1 ² + 0 ²

w 2 =   2

Vetor: W 3 = - 1,1 , 2

w 3 =   x 2 + y 2 + z ²

w 3 =   ( - 1 ) 2 + 1 ² + 2 ²

w 3 =   6

Para chegarmos ao nosso resultado, iremos construir três vetores “U”, dividindo cada vetor “W” pela sua norma, chega mais: Vetor: U 1

U 1 =   w 1 w 1 U 1 =   ( 1 , - 1,1 ) 3

U 1 = 1 3 , - 1 3 , 1 3

Vetor: U 2

U 2 =   w 2 w 2 U 2 =   ( 1,1 , 0 ) 2

U 2 = 1 2 , 1 2 , 0 2

U 2 = 1 2 , 1 2 , 0

Vetor: U 3

U 3 =   w 3 w 3 U 3 =   ( - 1,1 , 2 ) 2

U 3 = - 1 2 , 1 2 , 2 2

Passo 4

Galera, vamos pro próximo questionamento do exercício, em que ele pede: Escreva o vetor W 3 ∙ W 3 como combinação linear de W 1 , W 2 , W 3 .Primeiramente, para solucionar, vamos realizar o produto escalar do vetor “V” com os vetores “W”, venha comigo!

Vetores: V ∙ W 1

V ∙ W 1 = 2 ,   1 ,   0 ∙ 1 , - 1,1

V ∙ W 1 = 2 ∙ 1 + 1 ∙ ( - 1 ) + ( 0 ∙ 1 ) V ∙ W 1 = 2 - 1 + 0 V ∙ W 1 = 1

Vetores: V ∙ W 2 V ∙ W 2 = 2 ,   1 ,   0 ∙ 1,1 , 0

V ∙ W 2 = 2 ∙ 1 + 1 ∙ 1 + ( 0 ∙ 0 ) V ∙ W 2 = 2 + 1 + 0 V ∙ W 2 = 3

Vetores: V ∙ W 3

V ∙ W 3 = 2 ,   1 ,   0 ∙ - 1,1 , 2

V ∙ W 3 = 2 ∙ ( - 1 ) + 1 ∙ 1 + ( 0 ∙ 2 ) V ∙ W 3 = - 2 + 1 + 0 V ∙ W 3 = - 1

Chegamos no vetor V ∙ W 1,2 , 3 = ( 1 ,   3 ,   - 1 )

Continuando o questionamento, precisaremos fazer o produto escalar de cada vetor, por ele mesmo, chega mais!Vetores: W 1 ∙ W 1

W 1 ∙ W 1 = 1 , - 1,1 ∙ 1 , - 1,1

W 1 ∙ W 1 = 1 ∙ 1 + - 1 ∙ ( - 1 ) + ( 1 ∙ 1 ) W 1 ∙ W 1 = 1 + 1 + 1 W 1 ∙ W 1 = 3

Vetores: W 2 ∙ W 2 W 2 ∙ W 2 = 1,1 , 0 ∙ 1,1 , 0

W 2 ∙ W 2 = 1 ∙ 1 + 1 ∙ 1 + ( 0 ∙ 0 ) W 2 ∙ W 2 = 1 + 1 + 0 W 2 ∙ W 2 = 2

Vetores: W 3 ∙ W 3 W 3 ∙ W 3 = - 1,1 , 2 ∙ - 1,1 , 2

W 2 ∙ W 2 = - 1 ∙ ( - 1 ) + 1 ∙ 1 + ( 2 ∙ 2 ) W 2 ∙ W 2 = 1 + 1 + 4 W 2 ∙ W 2 = 6

Para finalizar, iremos dividir V ∙ W 1,2 , 3 W 1,2 , 3 ∙ W 1,2 , 3 , ficando assim:

V = 2,1 , 0 =   1 3 W 1 + 3 2 W 2 + - 1 6 W 3

Passo 5

Chegamos finalmente no último questionamento do exercício, em que ele pede: escreva o vetor V = ( x , y , z ) de R 3 como combinação linear de W 1 , W 2 , W 3 .

Vamos identificar o vetor: V = ( x , y , z )

Para solucionar, vamos realizar o produto escalar do vetor “V” com os vetores “W”, venha comigo!

Vetores: V ∙ W 1

V ∙ W 1 = x ,   y ,   z ∙ 1 , - 1,1

V ∙ W 1 = x ∙ 1 + y ∙ ( - 1 ) + ( z ∙ 1 ) V ∙ W 1 = x - y + z

Vetores: V ∙ W 2 V ∙ W 2 = x ,   y ,   z ∙ 1,1 , 0

V ∙ W 2 = x ∙ 1 + y ∙ 1 + ( z ∙ 0 ) V ∙ W 2 = x + y + 0 V ∙ W 2 = x + y

Vetores: V ∙ W 3 V ∙ W 3 = x ,   y ,   z ∙ - 1,1 , 2

V ∙ W 3 = x ∙ ( - 1 ) + y ∙ 1 + ( z ∙ 2 ) V ∙ W 3 = - x + y + 2 z

Para finalizar, iremos dividir V ∙ W 1,2 , 3 W 1,2 , 3 ∙ W 1,2 , 3 , ficando assim:

V = x , y , z =   x - y + z 3 W 1 + x + y 2 W 2 + - x + y + 2 z 6 W 3 Quanto trabalho hein?!

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

Resposta no passo 2

U 1 = 1 3 , - 1 3 , 1 3

U 2 = 1 2 , 1 2 , 0

U 3 = - 1 2 , 1 2 , 2 2

V = 2,1 , 0 =   1 3 W 1 + 3 2 W 2 + - 1 6 W 3

V = x , y , z =   x - y + z 3 W 1 + x + y 2 W 2 + - x + y + 2 z 6 W 3

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