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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.10 - Ex. 1

Nos Exercício, considere os operadores matriciais T A ∘   T B das matrizes dadas. Encontre a matriz canônica de T A ∘   T B .

A = 1 - 2 0 4 1 - 3 5 2 4

B = 2 - 3 3 5 0 1 6 1 7

Passo 1

Vamos lá, precisamos entender que a matriz canônica de T A ∘     T B   é o resultado do produto escalar de A e B , Logo:

T A ∘   T B = [ T A ] ⋅ [   T B ] = 1 - 2 0 4 1 - 3 5 2 4 ⋅ 2 - 3 3 5 0 1 6 1 7

Passo 2

Fazendo o produto escalar:

1 - 2 0 4 1 - 3 5 2 4 ⋅ 2 - 3 3 5 0 1 6 1 7

=   1 ⋅ 2 + - 2 ⋅ 5 + 0 ⋅ 6 1 ⋅ ( - 3 ) + - 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 1 ⋅ 3 + - 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 7 4 ⋅ 2 + 1 ⋅ 5 + ( - 3 ) ⋅ 6 4 ⋅ ( - 3 ) + 1 ⋅ 0 + ( - 3 ) ⋅ 1 4 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 + ( - 3 ) ⋅ 7 5 ⋅ 2 + 2 ⋅ 5 + 4 ⋅ 6 5 ⋅ ( - 3 ) + 2 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 5 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1 + 4 ⋅ 7

T A ∘   T B = [ T A ] ⋅ [   T B ] = - 8 - 3 1 - 5 - 15 - 8 44 - 11 45

Resposta

- 8 - 3 1 - 5 - 15 - 8 44 - 11 45

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Determine se T 1∘ T 2 =T 2 ∘T 1 . T 1:R 2→R 2 é a rotação por um ângulo θ 1 e T 1:R 2→R 2 é a rotação por um ângulo θ 2
Determine se T 1∘ T 2 =T 2 ∘T 1 . T 1:R 3→R 3 é a dilatação de fator k e T 1:R 3→R 3 é arotação em torno do eixo z por um ângulo θ .
Encontre a matriz canônica para a composição dada em R 3 para uma rotação de 45 ° em torno do eixo y , seguida de uma dilatação de fator k = 2 .
Determine se T 1∘ T 2 =T 2 ∘T 1 . T 1:R 2→R 2 é a projeção ortogonal sobre o eixo x e T 2:R 2→R 2 é a projeção ortogonal sobre o eixoy .
Encontre a matriz canônica para a composição dada em R 2 para uma dilatação de fator k =2 , seguida de uma rotação de 45 ° , seguida de uma reflexão no eixo y .