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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 21d

Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole:

  1. Os vértices são 2,0 e - 2,0 e os focos, 3,0 e - 3,0 .
  2. Os vértices são - 15,0 e 15,0 e as assíntotas tem equações 5 y - 4 x = 0 e 5 y + 4 x = 0 .
  3. Os focos são - 5,0 e 5,0 e a amplitude focal 9 / 2 .
  4. Os focos são - 5,0 e 5,0 e as assíntotas tem equações 2 y = x e 2 y = - x .
  5. O ponto 5,9 pertence à hipérbole, e as assíntotas tem equações y = x e y = - x .
  6. Os focos estão no eixo O y , as assíntotas tem equações 2 y + 3 x = 0 e 2 y - 3 x = 0 , e o eixo conjugado mede 8.

Passo 1

A equação reduzida de uma hipérbole centrada na origem é da forma:

x 2 p + y 2 q = 1

O centro da hipérbole é no ponto médio entre os dois focos. Portanto,

C = - 5,0 + 5,0 2 = 0,0

Portanto, a hipérbole realmente está centrada na origem! Além disto, como os focos estão no eixo O x , sabemos então que p = a 2 > 0 e q = - b 2 < 0 . Logo,

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Passo 2

Vamos descobrir agora quem são esses a e b .

Os focos da hipérbole no eixo O x e centrada na origem são dados por ± c , 0 . Relacionando com o valor dado na questão, temos c = 5 .

Mas como calculamos o valor de c para a hipérbole? Ele é dado pela seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Portanto,

25 = a 2 + b 2

b 2 = 25 - a 2

Vamos guardar esta relação.

Agora, vamos para as assíntotas

Como a hipérbole está centrada na origem, sabemos que as assíntotas são dadas por:

y = ± b a x

Vamos colocar agora a relação das assíntotas dadas na questão no formato acima. Portanto,

2 y = ± x

y = ± 1 2 x

Comparando as duas relações, temos:

b a = 1 2

2 b = a

Mas anteriormente nós vimos uma relação para a 2 . Substituindo acima, temos:

b 2 = 25 - a 2

b 2 = 25 - 4 b 2

b 2 = 5

b = 5

Lembrando, o parâmetro geométrico é sempre um número positivo. Continuando, temos que a = 2 5 . Portanto, a hipérbole é

x 2 20 - y 2 5 = 1

Resposta

x 2 20 - y 2 5 = 1

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