Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12 , esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas.

7. x 2 - 4 y 2 + 16 = 0

Passo 1

Então galera, antes de começarmos com a resolução devemos extrair duas informações sobre a equação que nos foi dada, que são os fatores a e b da equação! Mas que fatores são esses? Então, de acordo com o que estudamos a equação de uma hipérbole pode ter dois formatos:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Ou:

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1

A equação que nos foi dada é essa aqui:

x 2 - 4 y 2 + 16 = 0

Simplificando para escrevermos no formato padrão:

x 2 - 4 y 2 = - 16

4 y 2 - x 2 = 16

4 y 2 16 - x 2 16 = 1

y 2 4 - x 2 16 = 1

Que condiz com o segundo formato, certo? Então se compararmos os denominadores, teremos:

a 2 = 4 ∴ a = 2

b 2 = 16 ∴ b = 4

Ok, encontramos a e b ! Agora podemos iniciar a resolução de fato, então bora lá!

Passo 2

Para encontrarmos os vértices da hipérbole é de boa! Nesse caso eles são dados pelos pontos:

0 ,   - a   e   0 ,   a

Como a = 2 , então nossos vértices serão:

V é r t i c e s : 0 ,   - 2   e   0 ,   2

Ademais, para encontrarmos os focos da hipérbole também é bem tranquilão, galera! Basta que encontremos o c da nossa equação utilizando o Teorema de Pitágoras, pois os focos, para a equação nesse formato, são dados pelos pontos:

0 ,   - c   e   0 ,   c

Aplicando o Teorema:

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 4 + 16

∴ c = 20 = 2 5

Então nossos focos serão:

F o c o s :   0 ,   - 2 5   e   0 ,   2 5

Show! Metade do caminho foi concluído, agora vamos para o final!

Passo 3

A excentricidade de uma hipérbole é dada pela seguinte razão:

e = c a

Substituindo os valores, teremos:

e = 2 5 2 = 5

Por fim, para determinarmos as equações das assíntotas, temos que utilizar as relações:

y 1 = a b x   e   y 2 = - a b x

Substituindo os valores, teremos:

y 1 = 1 2 x   e   y 2 = - 1 2 x

Esboçando essa hipérbole, teremos o seguinte, galera:

No qual as curvas em vermelho é a hipérbole e as linhas tracejadas em preto são as assíntotas. E está aí nossa resolução!

Resposta

V é r t i c e s : 0 ,   - 2   e   0 ,   2

F o c o s :   0 ,   - 2 5   e   0 ,   2 5

E x c e n t r i c i d a d e : e = 5

A s s í n t o t a s :   y 1 = 1 2 x   e   y 2 = - 1 2 x

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