Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 21e

Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole:

  1. Os vértices são 2,0 e - 2,0 e os focos, 3,0 e - 3,0 .
  2. Os vértices são - 15,0 e 15,0 e as assíntotas tem equações 5 y - 4 x = 0 e 5 y + 4 x = 0 .
  3. Os focos são - 5,0 e 5,0 e a amplitude focal 9 / 2 .
  4. Os focos são - 5,0 e 5,0 e as assíntotas tem equações 2 y = x e 2 y = - x .
  5. O ponto 5,9 pertence à hipérbole, e as assíntotas tem equações y = x e y = - x .
  6. Os focos estão no eixo O y , as assíntotas tem equações 2 y + 3 x = 0 e 2 y - 3 x = 0 , e o eixo conjugado mede 8.

Passo 1

A equação reduzida de uma hipérbole centrada na origem é da forma:

x 2 p + y 2 q = 1

Como as assíntotas dadas na questão estão na forma y = ± x , isto é, são retas que passam pela origem, sabemos que a hipérbole realmente está centrada na origem!

Agora, temos que descobrir os valores de p e q que satisfazem a relação acima.

Passo 2

Como a hipérbole está centrada na origem, sabemos que as assíntotas são dadas por:

y = ± p q x

OBS: na verdade, a relação é y = ± b a x . Só que neste caso, não sabemos se p ou q possuem sinal negativo, a única certeza que temos é que p ∝ a 2 e q ∝ b 2 (proporcionais).

Então, comparando essa relação obtida com a relação dada na questão, temos que:

p q = 1

p = ± q

Como ambos devem ter sinais trocados, sabemos então que p = - q .

Agora, vamos substituir o ponto dado na equação da hipérbole para descobrirmos os valores dos parâmetros. Portanto,

x 2 p + y 2 q = 1 ⟹ - x 2 q + y 2 q = 1

- 5 2 q + 9 2 q = 1

- 25 + 81 q = 1

q = 56

Portanto, a hipérbole é dada por:

- x 2 56 + y 2 56 = 1

Resposta

- x 2 56 + y 2 56 = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a medida angular entre as retas tangentes à hipérbole de equação x 2 - 2 y 2 = 2 nos pontos P = 2 , - 1eQ = 2,0 .
Mostre que a regra prática para se obter uma equação da reta tangente no ponto T = h , k não exige que a equação da hipérbole esteja na forma reduzida: é suficiente que ela contenha apenas termos em x
A planta baixa de um muro tem a forma de um ramo de hipérbole. Bernardes, encostado ao muro, foi atingido por um tiro disparado por Arthur, que ocupava o foco. Durante o inquérito policial, Arthur ale
São dados, graficamente, o eixo transverso A 1 A 2 e os focos ( F 1 e F 2 ) de uma hipérbole. Descreva um método de construção com régua e compasso: de pontos da hipérbole, baseado apenas na Definição
Supondo que a reta t : x - y + 2 = 0 tangencia uma única curva C (elipse ou hipérbole) de focos F 1 e F 2 ,verifique em cada caso se C é elipse ou hipérbole e utilize a propriedade de reflexão para de